edutecnica

Macchine semplici        

le macchine semplici o elementari sono definite tali perché non si possono scomporre ulteriormente:
esse sono irriducibili ( uguali solo a se stesse ) anche se può essere definita una gerarchia.

1 — Le leve e altre macchine derivate come la carrucola ed il verricello.
2 — Il piano inclinato e macchine derivate come il cuneo e la vite.

Ad una macchina sono in genere applicate due forze:

1 — F : forza motrice ( o forza agente ) forza applicata alla macchina
2 — Q : forza resistente, forza da equilibrare o da vincere

Per una qualsiasi macchina il problema fondamentale è quello di individuare la relazione di equilibrio tra la forza motrice e la forza resistente.
Questo problema ( dell' equilibrio ) viene generalmente risolto applicando uno dei seguenti due teoremi:

Il Teorema dei momenti che dice che un corpo girevole attorno ad un punto o ad un asse soggetto a forze esterne, rimane in equilibrio se la somma algebrica dei momenti delle forze applicate è uguale a zero.

Il principio dei lavori virtuali già visto in precedenza ma che può essere riformulato più semplicemente affermando che in un sistema equilibrato, il lavoro totale di tutte le forze applicate è nullo per qualunque insieme di possibili piccolissimi spostamenti delle parti del sistema.

Connotazione caratteristica delle macchine semplici è il vantaggio ( o guadagno ) della macchina

       va da sè che se K>1, la macchina è vantaggiosa.

Leva      

La leva è una asta rigida vincolata ad un punto fisso ( fulcro ).
Si hanno tre varianti:

Leva di 1° genere o interfulcro: il fulcro sta tra la forza applicata e la forza resistente
(forbici, tenaglie, bilancia a piatti etc. ).

Leva di 2° genere o interresistente : la resistenza sta tra la forza applicata ed il fulcro
( schiaccianoci, cariola, etc. ).

Leva di 3° genere o interponente : la forza applicata sta tra il fulcro e la forza resistente
( braccio umano , pinze o molle per il fuoco).

La condizione di equilibrio è semplice.

il momento della forza motrice deve essere uguale alla forza resistente.

Si possono tener conto delle resistenze di attrito, almeno quelle che si sviluppano nel fulcro;
indichiamo con R la risultante della forze F e Q che si scarica su quest'ultimo.

nel fulcro si manifesta dunque una pressione normale f·R indicando con f=coefficiente di attrito. e con Fe la forza effettivamente applicata. Il momento    dovuto all'attrito nel perno che deve essere vinto a spese della forza agente F. All'equilibrio si ha:

è quindi possibile definire il rendimento    

Esempio

Calcolare la forza effettiva ed il rendimento di un bilanciere avendo come dati

Q : 160 N
b2 : 80 mm
b1 : 200 mm
d=24 mm
f=0,1



F=
Q·b2 / b1
=
160·80 / 200
=64 N
La pressione normale risultante nel perno è R=Q+F=160+64=224 N

si genera dunque una forza di attrito f·R=0.1·22,4=22,4 N



Applicando il teorema dei momenti nel fulcro e tenendo conto dell’attrito f del perno:

Fe·b1= Q·b2+f·R·
d / 2
    →     Fe·200 =160·80+22,4·12 =13068,8 Nmm
Fe=
13068,8 / 200
=65,3 N     →     η=
F / Fe
=
64 / 65,3
=0,979 N

 

Carrucola fissa      

E' una macchina semplice costituita da un disco girevole attorno ad un asse dotato di una gola nella quale può avvolgersi una fune o una catena.
Il disco è imperniato su una staffa solidale ad un gancio.

Applicando il teorema dei momenti si ha

                  quindi è K=1

La carrucola fissa non porta dunque nessun vantaggio tranne quello di avere un punto di applicazione più comodo per la forza agente.

Carrucola mobile      

E' uguale alla carrucola fissa solo che viene usata capovolta e si muove assieme al carico.
Al gancio viene appeso il carico Q; un capo della fune viene fissato al sostegno B mentre sull'altro capo agisce la forza F.
Durante il funzionamento la carrucola scorre lungo il tratto AB della fune, ruotando attorno a punti tutti uguali ad A che costituisce il fulcro istantaneo, siamo dunque nel caso, di una leva di secondo genere. Fulcrando in A l'equazione dei momenti è:

    

La forza agente occorrente è dunque metà della forza resistente.
Si nota, però, che per spostare di una altezza h la forza resistente Q, la forza agente F deve spostarsi di 2h, per cui i lavori rimangono sempre uguali: quello che si guadagna in forza si perde in spostamento.

Verricello      

Il verricello è costituito da un tamburo girevole attorno al quale si avvolge la corda o la catena a cui è applicato il carico.
Sono già stati visti alcuni esempi applicativi.
Coassiale al tamburo vi è una ruota o una manovella, mediante la quale si applica la forza. Il verricello è quindi una leva di primo genere, i cui bracci sono il raggio r del tamburo e la lunghezza b della manovella,mentre il fulcro è l'asse di rotazione.

                      

Essendo sempre b > r il verricello sarà sempre vantaggioso.
L'argano è un verricello ad asse verticale ed è usato per esercitare grandi sforzi orizzontali per lo spostamento di pesi.

Piano inclinato      

E' costituito da un qualsiasi piano inclinato di un certo angolo θ rispetto al piano orizzontale. Ne studiamo due casi particolari :

1 - la forza agente è parallela alla lunghezza del piano inclinato

Ipotizziamo la forza agente in moto uniforme, mentre essa compie lo spostamento l
( producendo il lavoro F×l ), la forza peso Q del corpo si alza di h ( producendo il lavoro Q×h).


Applicando il principio dei lavori virtuali, abbiamo:

        ma             

dove m è la massa del corpo e g l'accelerazione di gravità.
F e Q·sinθ , sono le due componenti tangenziali che si devono equilibrare per evitare che la massa inizi a scivolare lungo il piano per gravità.
Un' altra componente è la pressione normale al piano, Q·cosθ, che genera la resistenza d'attrito
f·Q· cosθ.
Per cui la forza effettiva Fe occorrente per il moto uniforme ascendente di un corpo sul piano inclinato sarà:

Il rendimento del piano inclinato sarà

2 - la forza agente è parallela alla base del piano inclinato

Per il principio dei lavori virtuali scriveremo:

per reazione si origina dal piano la forza uguale e contraria -F.

Come si vede dalla figura in questo caso, la pressione normale P risulta maggiore del peso Q del corpo, perché è

   

per cui la resistenza di attrito dovrà valere   e quindi la forza effettiva occorrente sarà

                     e risulta superiore a quella occorrente nel primo caso .

I caso normale del piano inclinato ( da trasporto ) è sempre quello con la forza parallela alla lunghezza del piano, mentre la forza parallela alla base del piano inclinato è applicata solo nelle macchine derivate dal piano inclinato: cuneo e vite, dove le pendenze sono piccole.

Cuneo      

E' una macchina semplice usata per esercitare pressioni su un'asta guidata.

La forza F per equilibrare il cuneo sotto il peso Q si trova ad agire con le stesse leggi viste per il precedente piano inclinato: con la forza equilibrante parallela alla base.

Spostando il cuneo da sinistra verso destra di una lunghezza b, il corpo si solleva di una altezza h.

Applicando il principio dei lavori virtuali si ha:

Il cuneo è una macchina molto vantaggiosa, in certe circostanze, perché se h è molto minore di b ne consegue che F diventa molto minore di Q.

La forza normale è ancora quella trovata nel caso precedente:   

Per calcolare la forza effettiva occorrente si usa sempre la formula precedente

che dato il grande attrito fra le superfici di contatto ( a causa delle forti pressioni normali ) è in genere molto basso e variabile fra 0,1 e 0,3; per questo motivo si avrà dunque, un arresto spontaneo sotto carico proprio perché il rendimento è inferiore a 0,5.

Vite      

La vite viene ottenuta da un cilindro sul quale è ricavato un risalto elicoidale chiamato filetto che può accoppiarsi con un altro risalto simile ricavato in un foro ( madrevite ).

Si realizza in questo modo la caratteristica coppia cinematica elicoidale vite-madrevite. La sezione del filetto può essere triangolare, quadrata o trapezoidale.

Una vite può essere destra ( destrorsa ) nella quale il filetto sale da sinistra verso destra e l'avvitamento avviene in senso orario.

Una vite può essere sinistra ( sinistrorsa ) nella quale il filetto sale da destra verso sinistra e l'avvitamento avviene in senso antiorario.

Passo della vite è la distanza p, misurata lungo una generatrice del filetto fra due eliche successive.

Si riconosce il diametro esterno d, il diametro del nocciolo dn ( diametro minimo o interno ) e il diametro medio fra i due precedenti dal quale si ottiene il raggio medio rm.

Ad ogni giro completo di rotazione, la parte mobile si sposta assialmente di un passo reale.

Il modello della vite è in analogia col caso [2] del piano inclinato : la forza motrice viene applicata orizzontalmente; infatti la forma elicoidale del filetto si ottiene avvolgendo un triangolo rettangolo di base 2πrm ed altezza p sul nucleo cilindrico della vite.

Nello spazio tridimensionale l'ipotenusa del triangolo si dispone secondo una curva chiamata elica.

La resistenza R agisce assialmente e sale lungo l'elica ( lungo il piano inclinato ) per effetto della forza F applicata orizzontalmente che provoca il moto di rotazione. In realtà le due forze sono distribuite sul numero di filetti in presa fra vite e madrevite.

Ad ogni giro la forza F compie uno spostamento uguale alla circonferenza media della vite producendo un lavoro:

la resistenza si sposta di un passo producendo un lavoro       per il principio dei lavori virtuali:

Nella pratica la forza F non viene applicata direttamente alla vite ma all'estremità di una leva ( chiave, manovella ) e viene trasferita sull'elica nella forma    ragione per la quale la precedente formula deve essere corretta come :

dato che p << 2 b si ha che F << R : il vantaggio della vite è sempre altissimo e non è ottenibile con nessuna delle altre macchine semplici.

Si nota poi come sia       

Se si considera la resistenza di attrito la forza effettiva da impiegare diventa:

in cui si deve considerare l'angolo di attrito del materiale con .
L'angolo di attrito vale l'arcotangente del coefficiente di attrito .