edutecnica

Principio dei lavori virtuali        

Uno spostamento virtuale si dice reversibile, se è virtuale anche lo spostamento opposto altrimenti è irreversibile.

Un vincolo si dice bilatero se tutti gli spostamenti virtuali permessi dal vincolo sono reversibili, si dice unilatero se vi sono degli spostamenti virtuali irreversibili.

Un sistema si dice olonomo quando, comunque, si prenda l'incremento infinitesimo il corrispondente spostamento del sistema è virtuale.

Condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un sistema soggetto a vincoli lisci (privi di attrito) è che il lavoro delle forze attive per ogni spostamento virtuale non sia positivo.

Si chiama spostamento virtuale di un punto P, soggetto a vincoli fissi, un qualsiasi spostamento infinitesimo  permesso dai vincoli.

per definizione il lavoro virtuale è espresso dal prodotto vettoriale:

per spostamenti irreversibili abbiamo

per spostamenti reversibili abbiamo

Più in generale, se F1, F2,...,FN sono le forze attive agenti su un sistema

     (dove Fi è la i-esima forza e Pi il suo punto di applicazione)

Se il sistema ha n gradi di libertà, possiamo sempre esprimere la posizione di un suo punto Pi in funzione delle sue n coordinate libere q1,q2,..qn.

N.D.R.: Ad es. un segmento nel piano xy ha tre gradi di libertà, per identificarlo non servono tutte le quattro coordinate dei suoi estremi liberi A(x1,y1) e B(x2,y2) ma solo tre coordinate libere: x1,y1,y2. Oppure le tre coordinate libere x1,y1 e l'angolo φ come illustrato:

      avrà uno spostamento virtuale:      
Se F1,F2,..,FN sono le forze attive agenti sui punti del sistema, l'equazione simbolica della statica diventa:



Per praticità, vengono quindi introdotte, le forze generalizzate Qj (j=1,2,..,n) delle sollecitazioni attive, secondo la direzione della coordinata libera qj.
        ottenendo:

Sono queste le n equazioni nelle n incognite q1,q2,..,qn, tante quanto gli n gradi di libertà del sistema che risolte forniscono le coordinate qj della posizione di equilibrio.

Per calcolare le componenti Qj si procede nel seguente modo:
si fanno variare le coordinate libere una alla volta facendole aumentare.
Per ciascuna di queste variazioni si calcola il lavoro virtuale delle forze agenti sul sistema:



Durante il calcolo può tornare comodo introdurre coordinate sovrabbondanti, esse devono poi essere eliminate tramite relazioni geometriche con le coordinate libere.
N.B.:Le Qj devono risultare funzione solo delle coordinate libere.

Come si calcola il lavoro virtuale

Per calcolare il lavoro virtuale di una forza F applicata ad un punto P si può usare l'espressione cartesiana:

oppure l'espressione:

Per calcolare il lavoro virtuale di una coppia di forze di momento M, si deve considerare l'angolo di rotazione del corpo. a cui è applicata:

col segno + o - a secondo che il senso della coppia sia concorde o discorde con quello dell'angolo.



Esempio: 1 grado di libertà; coordinata libera θ

      con
     ma
     quindi:


      differenziando:





Esempio
: 2 gradi di libertà; coordinate libere x ed s

A] Se variamo s tenendo costante x:

     con :        
quindi:        

B] Se variamo x tenendo costante s: