Lavoro

          

Quando su un corpo di massa m agisce una forza F di direzione ed intensità costanti, questo corpo subisce uno spostamento s.

Il lavoro di una forza F è definito come il prodotto dell'intensità della componente della forza, calcolata nella direzione dello spostamento, per lo spostamento del suo punto di applicazione.

In forma analitica viene espresso dal prodotto scalare tra il vettore F e lo spostamento s che sono due grandezze vettoriali

      [ J ]

dove θ è l'angolo formato tra i vettori F ed s.

Il lavoro è sempre energia in fase di trasferimento. L'energia può essere trasferita a un corpo, o da un corpo, per mezzo di una forza che agisce su di esso.
● Quando l'energia è trasferita al corpo il lavoro è positivo.
● Quando l'energia viene ceduta dal corpo il lavoro è negativo.

Come si è specificato, il lavoro è una grandezza scalare e la sua unità di misura è il joule.
Il joule è il lavoro compiuto da una forza di un newton quando il suo punto di applicazione si sposta di un metro nella direzione e nel verso della forza.
Se la forza F ha una direzione diversa rispetto a quella in cui è possibile realizzare il moto, allora bisogna decomporre F e considerare solo la componente che ha la stessa direzione del moto.
Nel seguente disegno si vede che la forza F forma col piano di appoggio un angolo θ mentre il corpo può spostarsi solo in direzione dell'asse positivo della x.

Decomponiamo la F nelle due direzioni ortogonali x ed y.

La F_y viene equilibrata dalla reazione vincolare del piano assieme alla forza peso (nel disegno non rappresentata) queste forze non possono produrre dunque nessuno spostamento. La componente F_x parallela al piano, provoca invece il moto del corpo e dunque compie il lavoro

Se la forza motrice F fosse stata parallela al piano, cosθ=cos0°=1 ed avremmo semplicemente avuto

Il vettore peso, invece, potrebbe compiere lavoro solo nell'ipotesi che sia in grado di produrre moto in direzione verticale, come nel caso di un corpo che cade per gravità.

Nel seguente schema, trascinando la punta del vettore F (verde) e la punta del vettore s (rosso) si vede come viene ottenuta la componente che qui chiamiamo (impropriamente) F_x disegnata in viola che sarebbe la componente del vettore F nella direzione dello spostamento: il lavoro viene calcolato come L=F·s·cosθ =F_x·s.

Se al corpo è applicata anche una forza resistente R ad esempio dovuta all'attrito con

con f=coefficiente di attrito e p=mg=peso del corpo.
La forza resistente va considerata, infatti nell'ipotesi che sia F>R la forza che produrrà lo spostamento e quindi il lavoro sarà F-R, che è come dire che F produce un lavoro positivo ed R un lavoro negativo.
Si definisce lavoro motore (positivo) quello compiuto dalla forza motrice F , lavoro resistente (negativo) quello compiuto dalla forza resistente R.
In un moto di traslazione il lavoro motore uguaglia (almeno) il lavoro resistente, o meglio

L_m=L_r moto uniforme
L_m>L_r moto uniformemente accelerato
L_m<L_r moto uniformemente decelerato

Essendo il lavoro, ottenuto da una operazione di prodotto scalare, fissata una coppia di coordinate cartesiane x,y in concomitanza del punto di applicazione della forza, possiamo avvalerci della regola

dove F_x F_y s_x ed s_y sono le componenti dei vettori F ed s lungo gli assi coordinati.Si tratta di una formula ottenuta dalla regola generale del prodotto scalare tra due vettori collocati su un piano cartesiano di coordinate xy.

Anche in questo caso occorre trascinare la punta dei due vettori per cambiarne modulo e direzione.

Energia cinetica

     

Supponiamo che su un corpo inizialmente fermo agisca una forza per un dato intervallo di tempo t.
Sappiamo che il moto sarà accelerato con leggi

Il lavoro compiuto dalla forza si trasforma nell'energia cinetica

   [ J ]  dato che m=cost.     

Teorema delle forze vive: il  lavoro compiuto da una forza applicata ad un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso .

La variazione di energia cinetica di un corpo è dovuta alla variazione di velocità.

Come si è potuto notare, il lavoro è misurato in joule come l'energia (energia cinetica) più in generale, si può dire che l'energia è la capacità di un sistema fisico di compiere un lavoro. Questa capacità, implica in ogni caso, la presenza di una forza in grado di eseguire uno spostamento, dato che soltanto il prodotto tra queste due grandezze può generare il lavoro meccanico.

Teorema dell'energia cinetica+

     

Se un corpo possiede una energia cinetica iniziale e su di esso agisce una forza che effettua un lavoro.
L'energia cinetica finale è uguale alla somma dell'energia cinetica iniziale e del lavoro conferito.

in questa uguaglianza consiste il teorema dell'energia cinetica, dove:
K_i=energia cinetica iniziale del corpo
K_f=energia cinetica finale del corpo

Lavoro della forza gravitazionale

     

Il lavoro L_g svolto dalla forza di gravità F_g=mg agente sulla massa di un corpo è dato dalla relazione

con θ angolo tra i vettori F_g ed s.

Lavoro svolto nel sollevamento di un corpo

  

Il lavoro L_a effettuato da una forza nel sollevamento o nell'abbassamento di un corpo è in relazione al lavoro svolto dalla forza di gravità L_g sul corpo stesso dalla relazione

se l'energia cinetica iniziale e finale sono uguali si ha:

in pratica, la forza applicata trasferisce tanta energia al corpo quanta ne viene sottratta dalla gravità.

ricordiamo che il lavoro eseguito dal campo gravitazionale su una massa in fase di salita è negativo e vale

ma come si vede dal disegno i vettori F_g ed s hanno verso contrapposto per cui cosθ=-1. Si deduce che il lavoro che deve essere eseguito sulla palla per alzarla dal livello y=0 al livello y=h è pari a

la palla ha infatti velocità iniziale e finale (al livello y=h) nulle.

Lavoro della forza elastica

     

La forza F esercitata da una molla è data dalla legge di Hooke

dove d è lo spostamento dell'estremità libera della molla rispetto la sua posizione di riposo (non compressa e non allungata) con k costante elastica [N/m].
Ad esempio, se facciamo uno spostamento d partendo dalla posizione di riposo di una molla, allo spostamento si opporrà la forza F della molla in fase di compressione che è diretta come si vede dal disegno in senso contrario allo spostamento (cosθ=cos180°=-1).

Se la forza e lo spostamento si svolgono lungo un unico asse che per comodità chiamiamo x, l'espressione precedente può essere scritta in forma scalare

bisogna dunque tener conto che la forza di una molla è non è costante ma variabile in funzione dello spostamento x.

Se un oggetto è fissato all'estremità libera di una molla, il lavoro L_e compiuto dalla forza elastica della molla sull'oggetto, quando questo viene spostato dalla posizione iniziale x_i alla posizione finale x_f è dato dalla formula:

se x_i=0 ed x_f=x la formula diventa

queste ultime osservazioni sono state già messe in evidenza nella pagina sull'energia potenziale della molla.

Lavoro svolto da una forza variabile

     

Quando la forza F agente su un oggetto, dipende dalla posizione dell'oggetto in uno spazio tridimensionale descritto dalle coordinate xyz, nell'ipotesi che la componente F_x dipenda esclusivamente da x, F_y dipenda esclusivamente da y ed F_z dipenda solo dalla coordinata z; il lavoro fatto sull'oggetto nel corso del suo spostamento da una posizione iniziale r_i(x_i,y_i,z_i) ad una posizione finale r_f(x_f,y_f,z_f) è dato dalla formula:

Principio di conservazione dell'energia

     

Questo principio può essere espresso nel modo seguente : la somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica possedute da un corpo è costante.

    o anche     

U_i=energia potenziale iniziale
K_i=energia cinetica iniziale
U_f=energia potenziale finale
K_f=energia cinetica finale
E_T=energia totale

Il principio è puramente teorico si riferisce ad un sistema isolato dove siano presenti solo forze conservative.

Lavoro di una coppia

     

Prendiamo un corpo per semplicità cilindrico inizialmente fermo ipotizzando che ruoti attorno al proprio asse sotto l'effetto di una forza periferica F percorrendo uno spazio angolare θ in un tempo t con moto accelerato .

essendo    s=θ·r     viene eseguito un lavoro

      ma M=Fr dunque   

    [ J ]

Nel moto rotatorio, il lavoro espresso dal momento motore è il prodotto del momento stesso per la spazio angolare θ [rad] percorso.

Energia cinetica di rotazione

     

L'energia cinetica di rotazione non può essere espressa con la formula K=1/2mv² già ottenuta per il moto di traslazione; ma se immaginiamo che un corpo rotante possa essere decomposto in tanti elementi infinitesimali di massa m_i le cui velocità periferiche sono diverse tra loro, partendo dalla stessa formula, sapendo che per l'i-esimo elemento la velocità è v_i=ωr_i con ω velocità angolare [rad/s].

                  

facendo la sommatoria estesa a tutti gli elementi

      

con J=momento di inerzia del corpo rispetto al proprio asse di rotazione.

La formula suddetta può anche essere ricavata dall'equazione fondamentale del moto rotatorio dove appare l'accelerazione angolare α

dove θ è l'angolo di rotazione eseguito nel tempo t; dalla formula del lavoro sapendo che la velocità angolare è ω=αt

Il lavoro sviluppato dal momento motore M si converte così in energia cinetica di rotazione    

Potenza

          

Il lavoro è dunque una forza per uno spostamento. Per come è stato definito, il lavoro compiuto da una forza, è indipendente dal tempo impiegato per eseguire lo spostamento; eppure anche intuitivamente si comprende che a parità di forza applicata c'è una certa differenza tra far percorrere al corpo 200m in 20 secondi e percorrere la stessa distanza in un'ora. Chiaramente, la resa del lavoro è maggiore quanto minore è l'intervallo di tempo in cui viene svolto. Per misurare la rapidità con cui una forza compie un lavoro viene definita la potenza.

    [W] (watt=joule/sec)

Bisogna notare che dal punto di vista dimensionale è

   

con v_m=velocità media che se il moto è accelerato è data da   

Per qualificare l'efficienza di una macchina viene, inoltre, introdotta la nozione di rendimento η.

P_a=P_p+P_u=potenza assorbita
P_p=potenza persa
P_u=potenza utile

Nel caso di una coppia avremo

     

questo perchè, per definizione di velocità angolare   

Nel moto rotatorio la potenza sviluppata da una coppia è data dal prodotto del suo momento per la velocità angolare. Nelle applicazioni pratiche dove la velocità angolare si misura in n [giri/min] dobbiamo ricordare che

      quindi     

   oppure     

riassumendo