Integrale indefinito

        

Si considera una funzione f(x), definita nell'intervallo [a,b]; se per questa funzione ne esiste un'altra F(x) tale che:

F(x) viene chiamata funzione primitiva di f(x).

Se due funzioni F(x) e G(x) hanno in [a,b] la stessa derivata, la loro differenza è costante. Infatti.

ne consegue che

         costante                 quindi         

Se una f(x) possiede in [a,b] una primitiva F(x) , ogni altra funzione ottenuta aggiungendo ad F(x) una costante arbitraria c, è anch'essa primitiva di f(x).

All'insieme di tutte le infinite primitive di f(x) si da il nome di integrale indefinito di f(x) indicandolo col simbolo:

Questo insieme è pienamente determinato quando è nota anche una sua sola primitiva

                     con, ovviamente F'(x)=f(x).

Come si intuisce l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione.

Ricordando la formula per la derivazione di una funzione composta:

si deduce     

oppure       da cui si ottiene

altri integrali indefiniti riconducibili ad integrali immediati sono riportati in in questa pagina .

Integrazione per sostituzione

        

Se nell'integrale indefinito:
                            si pone                     

differenziando si ottiene:

        sostituendo         

Accade a volte che la determinazione di quest'ultimo integrale sia più facile di quello precedente. Esempi:

I )                        ponendo           

sostituendo

II )                        ponendo           

si avrebbe            e differenziando            quindi

III )          ponendo        

essendo                    si ha

avendo posto                e inoltre

                           in definitiva

IV )                  

si ha                   differenziando

       sostituendo

Integrazione per parti

        

Dalla regola della derivazione del prodotto

si ricava

integrando entrambi i membri

                      essendo

si può riscrivere

dg(x) si chiama fattore differenziale
f(x) si chiama fattore finito

La regola dell'integrazione per parti, può allora essere enunciata nel modo seguente:

L'integrale del prodotto di due funzioni , di cui una sia presa come fattore finito, è uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale del fattore differenziale, diminuito dell'integrale del prodotto della derivata del fattore finito per l'integrale del fattore differenziale. Esempi:

I )          se poniamo lnx come fattore finito e dx come fattore differenziale

II )          se poniamo atgx come fattore finito e dx come fattore differenziale

III )           se poniamo x come fattore finito e e^xdx come fattore differenziale

IV )           se poniamo x² come fattore finito e e^xdx come fattore differenziale

           per l'esempio precedente

V )          se poniamo x come fattore finito e cosx dx come fattore differenziale

Integrazione di funzioni razionali

     

Una funzione razionale è il rapporto          di due polinomi f(x) e g(x).

Se il grado della f(x) non è minore del grado della g(x), eseguendo la divisione:

essendo P(x) il quoziente ed r(x) il resto di grado inferiore a g(x).
Dividendo per g(x) si ottiene:

una funzione razionale è la somma di un polinomio e di una funzione razionale fratta il cui numeratore è un polinomio di grado inferiore al grado del polinomio denominatore.

Si dimostra che questa funzione si può scomporre nella somma di funzioni razionali elementari del tipo

con le quantità a ed sono costanti reali o complesse e gli esponenti m sono numeri interi. Possono esserci i seguenti casi:

I ) Si sanno determinare tutte le radici reali del polinomio denominatore ed esse sono radici semplici.
Cioè se n è il grado di g(x), si ha:

       con        

In questo caso si possono determinare n costanti reali A₁,A₂,…,A_n tali che:

                                  quindi

Ad esempio

          eseguendo la divisione

polinomio   si annulla per      per cui

basta determinare le tre costanti A, B, C tali che:

Riconducendo a forma intera

dovrà essere

           in definitiva

                   quindi

II ) Può accadere che una delle radici del denominatore abbia molteplicità maggiore di 1.

          cioè

ne segue  

III ) Da ultimo facciamo l'ipotesi in cui al denominatore vi sia un trinomio di secondo grado col Δ<0 e quindi avente radici complesse.

essendo            poniamo

              integriamo per sostituzione

ponendo          differenziando          sostituendo

     

quindi

Integrale definito

         

Se F(x) è una primitiva di f(x):

L'integrale definito di una funzione esteso all'intervallo [a,b] è dato dalla differenza tra i valori che una sua primitiva assume per x=b e x=a. Ad esempio