Teorema di Fourier

      

Secondo il teorema di Fourier, tutti i segnali periodici, di qualunque forma d'onda, possono essere considerati come il risultato della sovrapposizione di più segnali sinusoidali di opportune ampiezze e frequenze, opportunamente sfasati tra loro.
Una funzione f(t) di periodo T e frequenza f=1/T può essere espressa da una serie del tipo:

che si può anche scrivere come

Il primo termine di pulsazione ω di ampiezza A₁ e di fase ɸ₁  viene chiamato prima armonica o armonica fondamentale, il secondo termine è la seconda armonica e così via.
Si vede come la prima armonica ha frequenza pari alla frequenza della funzione, la seconda armonica ha frequenza doppia, la terza ha frequenza tripla e così via.
I requisiti richiesti alla f(t) per essere sviluppata secondo la serie di Fourier, sono quelli di essere generalmente continua e sommabile nell'intervallo ( 0,T ) cioè se la f(t) è integrabile nell'intervallo ( 0,T ) e questo integrale ha valore finito, la f(t) può essere espressa secondo la serie di Fourier.
Sviluppando il generico termine con la formula di addizione

poniamo       

Integriamo ora, entrambi i membri della precedente relazione dall'istante t=0 a t=T

questo perchè l'integrale di una funzione sinusoidale o cosinusoidale esteso al periodo T è uguale a zero.Otteniamo dunque:

               valor medio della f(t).

Per le componenti S_n e C_n è possibile dimostrare che:

Sapendo poi, che le forma d'onda periodiche sono usate come vettrici e codificatrici di informazione risulta utile conoscere il valore efficace del segnale analizzato:

Sono obbligatorie alcune osservazioni.
Se la f(t) è una funzione periodica pari, cioè se f(t)=f(–t) lo sviluppo in serie di Fourier si riduce ad una serie di soli coseni, essendo i termini S_n uguali a zero.

Se invece la f(t) è una funzione periodica dispari, cioè se f(t)=–f(–t) lo sviluppo in serie di Fourier si riduce ad una serie di soli seni essendo i termini C_n uguali a zero.

Analisi spettrale

      

Usando il teorema di Fourier si può analizzare un segnale periodico qualsiasi e determinare le sue componenti armoniche.
Le ampiezze e le fasi di ciascuna armonica possono essere riportate su grafici che rappresentano lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase del segnale analizzato.
Nel disegno sottoriportato, è riprodotta un'onda quadra di valor medio A_o=0,5 costruita con le sue prime sette componenti armoniche,di fianco è illustrato il relativo spettro di ampiezze (si nota l'assenza di armoniche pari).

Come si nota, non è facile disegnare un segnale che riguarda una serie di Fourier in modo soddisfacente, questo perchè bisogna tener conto del contributo di ciascuna componente della serie.
In genere, conviene controllare l'andamento con appositi programmi calcolatori. come questa applet Java.

In linea di massima si può notare che pur essendo infiniti i termini della serie le componenti armoniche di frequenza elevata rispetto alla fondamentale presentano ampiezze progressivamente decrescenti e quindi il loro contributo può essere in certi casi trascurato.
Ovviamente, tanto maggiore è il numero delle armoniche considerato e tanto maggiore è la precisione con cui la somma delle componenti approssima il segnale.
Riportiamo di seguito gli sviluppi in serie di Fourier per i principali segnali con

Le considerazioni fatte sui segnali periodici possono essere estese ai segnali non periodici se,invece di esprimere la funzione mediante la serie di Fourier,la si rappresenta mediante l'integrale di Fourier.
In questo caso le frequenze che compongono il segnale non presentano valori discreti ma uno spettro continuo di valori dalla frequenza zero a infinito.