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Vincoli e reazioni        

Quando un corpo non è libero di spostarsi in tutte le direzioni si dice che tale corpo è vincolato.
Un vincolo limita, dunque, lo spostamento di un corpo. Un corpo vincolato è soggetto all'azione di forze, i vincoli sviluppano forze contrarie chiamate reazioni.


I vincoli vengono classificati in base al numero di movimenti che essi sono in grado di impedire:traslazione verticale, traslazione orizzontale e rotazione.

I vincoli semplici sono dati dall'appoggio e dal carrello.
L'appoggio semplice, reagisce solo in direzione perpendicolare al piano e impedisce i movimenti del corpo in tal senso, mentre permette scorrimenti lungo il piano che possono essere facilitati in presenza di rulli.

Il carrello, toglie solamente la possibilità di traslazione sulla normale alla sua retta di scorrimento; mentre è libero di scorrere (in senso orizzontale) e di ruotare.
l'appoggio e il carrello sono vincoli semplici perché tolgono solo un grado di libertà; essi reagiscono dunque con una sola reazione vincolare.

Poi esistono  vincoli doppi  come la cerniera, il pattino e il manicotto.

La cerniera, reagisce in qualunque direzione passante per il suo centro, permette solo la rotazione del corpo.

Come nel caso del pattino e il manicotto, toglie due gradi di libertà. Essi reagiscono, dunque,
con due reazioni vincolari.

L'incastro, è  vincolo triplo  ; esso  reagisce in qualunque direzione: sviluppa delle reazioni che impediscono qualsiasi movimento:reagisce dunque con tre reazioni vincolari.


Equazioni cardinali della statica

Se indichiamo con R la risultante delle forze attive applicate ad un corpo ed R' la risultante delle reazioni vincolari;
se M è il momento della forze attive applicate ed M' il momento delle reazioni vincolari;
affinché il corpo sia in equilibrio deve essere :

Sono valide per qualunque sistema, per qualunque tipo di vincolo, per qualsiasi sistema di forze.
Sono necessarie per l'equilibrio di un sistema ma sono solo sufficienti per i corpi rigidi e non per quelli deformabili.

    Applicazione delle equazioni cardinali della statica

Il caso più immediato che si può considerare è quello di un corpo (una trave) appoggiato agli estremi e soggetto a un carico.

dalla prima equazione cardinale della statica avremo:

           quindi..
                 le reazioni vincolari devono bilanciare le forze esterne

Poi, scegliamo arbitrariamente un punto rispetto al quale eseguire la seconda equazione cardinale della statica; fulcrando la trave in A e scegliendo positivi i momenti orari:

          cioè..
               quindi..         

La reazione vincolare in A non contribuisce con alcun momento dato che il suo braccio è nullo rispetto ad A. Sostituendo quest'ultimo valore nella prima equazione avremo..
          per cui..                   avremo:           
allo stesso risultato si perverrebbe fulcrando la trave in B.


    Carico distribuito linearmente  
E' possibile determinare la risultante di carichi distribuiti, ricordando che per una distribuzione lineare vale la regola:


dove q è il valore del carico distribuito sull'unità di lunghezza espresso in (N/m)

    Carico distribuito con legge triangolare  
Ricordiamo le regole che permettono di ricavare la risultante per un carico distribuito con legge lineare:


dove qmax è il valore massimo del carico distribuito sull'unità di lunghezza (N/m).

Computo dei vincoli

Davanti ad un problema sulla valutazione della stabilità di un sistema, abbiamo a disposizione soltanto le equazioni cardinali della statica; quindi possiamo calcolare le reazioni vincolari solo per quei sistemi in cui il numero di equazioni (in genere 3) uguaglia o è superiore al numero di incognite ( in genere le reazioni vincolari).

E' possibile constatare che la posizione di un corpo rigido, su di un piano è completamente determinata dalla conoscenza di 3 parametri (le coordinate x,y di un suo punto e l'angolo che esso forma rispetto ad un asse di riferimento).

In modo analogo per limitare le libertà di movimento di tale corpo occorrono almeno 3 vincoli cioè la traslazione lungo due direzioni ortogonali e la rotazione attorno ad un punto qualsiasi. Pertanto, possiamo contrastare i possibili movimenti di un corpo, applicando ad esso tre vincoli semplici, oppure un vincolo doppio e uno semplice, oppure un vincolo triplo.

E' possibile vincolare una struttura con un numero maggiore di vincoli, rispetto a quello che sono i suoi gradi di libertà; come nel caso dell'arco a due cerniere:

In tal caso la struttura ha 3 gradi di libertà e 4 reazioni vincolari HA,VA,HB e VB . Una eventuale applicazione delle equazioni cardinali, ci metterebbe a disposizione tre equazioni in presenza di queste quattro incognite.

Secondo la Statica, questo, è un sistema indeterminato e questa struttura viene chiamata iperstatica.

Viceversa, nella figura precedente si vede un'asta vincolata da due carrelli che tolgono un grado di libertà ciascuno. Mancando un terzo vincolo, la struttura è libera di muoversi e viene chiamata labile.

In generale si ha a che fare con strutture isostatiche, con tre vincoli che è il caso strettamente necessario ad impedire ogni tipo di movimento. Quindi, riassumendo, per un corpo rigido, chiamando v=numero di vincoli a cui è soggetto si avrà:


a=numero di appoggi o carrelli ( 1 g.v.)
c=numero di cerniere ( 2 g.v.)
i=numero di incastri ( 3 g.v.)

Dato che per un singolo corpo rigido i gradi di libertà sono 3:

v<3 struttura labile
v=3 struttura isostatica
v>3 struttura iperstatica

E' frequente avere a che fare con sistemi strutturali composti da più corpi rigidi vincolati fra loro tramite cerniere. In tal caso i gradi di libertà sono l=3n, dove n è il numero di elementi componenti il sistema. Il numero di vincoli che assoggetta il sistema è:

dove m è il numero di elementi che concorrono in ogni cerniera.
Infatti, ogni cerniera, toglie 2 gradi di libertà ad ogni elemento concorrente, ma può spostarsi nel piano secondo 2 direzioni conservando 2 gradi di libertà:

per queste strutture composte:

     strutture labili
      strutture isostatiche
     strutture iperstatiche


La struttura precedente è un 'arco a tre cerniere; notiamo, come essa, sia costituita da n=2 elementi quindi i gradi di libertà sono:l=3n=6. E' fissato con una cerniera (2g.v.) un carrello (1g.v.); viè inoltre una cerniera interna in cui concorrono i due elementi:



La struttura è labile, dato che i gradi di libertà sono in numero maggiore dei gradi di vincolo.



In questo non abbiamo nessun incastro; la cerniera D l'appoggio B e il carrello C (che è come un appoggio perché toglie un solo grado di libertà), Abbiamo un'unica cerniera interna in cui convergono i due elementi; i gradi di libertà totali sono l=3n=6 appunto, dato che gli elementi complessivi sono 2.



La struttura è isostatica.

La struttura riportata è sempre un arco a tre cerniere con l=3n=6 gradi di libertà, ma stavolta, in virtù della presenza di un incastro (3g.v.) il computo delle reazioni vincolari ci porta a scrivere:



La struttura, è in questo caso iperstatica (una volta iperstatica).