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Parabola

La parabola viene definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta fissa detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco.

Sul piano xy prendiamo come fuoco il punto       e prendiamo come direttrice la retta
   parallela all'asse x; se P(x,y) è un punto generico della parabola, deve sempre essere:
    con      e con   
e ovviamente anche:       per cui:
     sviluppando i quadrati:
     cioè:          da cui:
     se poniamo          ne seguirà:        quindi la coordinata del fuoco è:
     possiamo dunque scrivere:    .
La funzione     rappresenta dunque una parabola che ha l'asse coincidente con l'asse y e ha il vertice nell'origine.
Più in generale, è possibile dimostrare che l'equazione:



è l'equazione generica di una parabola, avente l'asse di simmetria parallelo all'asse y e spostato a sinistra o a destra a secondo del segno di b.

L'equazione precedente si può anche trasformare nel seguente modo:

Avendo aggiunto e tolto al secondo membro la quantità       ; sviluppando si ha:
    quindi    
Se ora trasliamo parallelamente a se stesso l'asse delle y, portando l'origine O sul punto di ascissa
e consideriamo il nuovo sistema di assi cartesiani così ottenuto, possiamo affermare che le ordinate y' del nuovo sistema, non diferiscono dalle y del precedente sistema, mentre le nuove ascisse x' differiscono dalle corrispondenti precedenti della quantità 2a; cioè fra le nuove e le vecchie coordinate valgono le relazioni:

Sostituendo nell'equazione precedente:   

Ossia:       [analoga a y=ax2]   Ponendo:

Cioè considerando una traslazione di assi in maniera che l'origine del nuovo sistema coincida col punto :
   nel sistema indicato diventa:      che è l'equazione di una parabola avente l'asse Y come asse di simmetria ed il vertice coincidente nel punto O'.
Rispetto ai vecchi assi le parabole le parabole che rappresentano l'equazione canonica.
Hanno l'asse parallelo all'asse delle y, passante per l'ascissa        e il vertice di coordinate:

               quindi:      

Per determinare le eventuali intersezioni della parabola con l'asse delle x basta fare il sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione dell'asse x cioè y=0 :

Se Δ=b2 - a·c>0 il sistema precedente ha due soluzioni reali distinte: la parabola interseca l'asse x in due punti distinti.
Se Δ=0 l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti, cioè la parabola è tangente all'asse x e il vertice è il punto di contatto.
Se Δ<0 l'equazione non ha soluzioni reali, quindi, la parabola non interseca l'asse x.

La parabola di equazione  interseca sempre l'asse delle y nel punto di ordinata uguale a c. Infatti facendo il sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione dell'asse y (cioè x=0)

Se a≠0 e b=c=0 l'equazione si riduce a: ; la curva passa per l'origine O(0,0) ed è simmetrica rispetto a y.

Nel caso della generica parabola, espressa nella forma:   avremo invece:

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