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Equazioni di secondo grado              

Un'equazione è un'uguaglianza fra due espressioni contenenti un termine imprecisato che noi chiamiamo incognita, che implica la ricerca di determinati valori che chiamiamo soluzioni, i quali sostituiti al posto dell'incognita soddisfano l'uguaglianza cioè le rendono vera.

In un'equazione di primo grado si è visto come sia possibile trovare la soluzione che è unica. Ad es.

L'equazione di primo grado è caratterizzata dal fatto che in essa l'incognita x ha esponente 1.

Se invece si ha un'equazione che contiene l'incognita con esponente massimo 2, allora si dice che tale equazione è di secondo grado.

L'equazione di secondo grado, in forma normale o canonica è :

I coefficienti a b e c sono numeri reali; il terzo coefficiente c viene chiamato il termine noto.

Un'equazione di secondo grado si dice completa quando sia a b che c sono diversi da zero; si dice incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c oppure entrambi sono uguali a zero.

Si hanno dunque i seguenti tipi di equazione:

equazione di secondo grado pura se è riconducibile alla forma

       con a≠0 e c≠0

equazione di secondo grado spuria se è riconducibile alla forma

     con a≠0 e b≠0

equazione di secondo grado monomia se è riconducibile alla forma

      con a≠0

Equazione di secondo grado pura              

Come già detto un'equazione di secondo grado pura si presenta nella forma

può essere risolta rispetto ad x2         in modo da ricondurla alla forma

• se k>0 ci sono due numeri reali che possono avere come quadrato k. Cioè ci sono due soluzioni possibili

• se k<0 non ci sono soluzioni reali perchè nessun numero reale ha come quadrato un numero negativo.

Ad esempio :   non ha soluzioni: S=∅ dato che   non si può risolvere; nessun numero elevato al quadrato fornisce un valore negativo.

Esistono, invece, casi dove si possono avere delle soluzioni; ad es.

In questo caso l'insieme delle soluzioni è S={+5,-5}

Equazione di secondo grado spuria              

Ogni equazione spuria, cioè del tipo

può essere risolta facendo il raccoglimento a fattor comune della x al primo membro

Per la legge di annullamento del prodotto, una delle soluzioni è certamente x=0 l'altra proviene imponendo che il binomio tra parentesi sia nullo

       quindi si ha sempre

anche in questo caso si hanno due soluzioni, per esempio:

In questo caso l'insieme delle soluzioni è S={0,+2}

Equazione di secondo grado monomia              

L'equazione di secondo grado monomia si riconosce perchè si presenta nella forma

con a≠0; è evidente che ammette l'unica soluzione x=0, tuttavia per coerenza con i casi precedenti si afferma che si hanno due soluzioni coincidenti per x=0.
Questo perchè essa può essere considerata un caso particolare dell'equazione pura

   con k=0

in tal caso le due soluzioni vengono a coincidere.

Equazione di secondo grado completa              

L'equazione di secondo grado completa, anche chiamata trinomio di secondo grado, si presenta nella forma

con i tre coefficienti (a,b e c) diversi da zero. Il metodo standard per la sua soluzione porta a quella che viene chiamata la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado

essa viene ottenuta applicando il metodo del completamento del quadrato, che consiste nell'effettuare delle manipolazioni algebriche in modo da trasformare il trinomio di secondo grado ax2+bx+c nella somma del quadrato di un binomio e di una costante. Si tratta di trasformare

se riusciamo a fare questa trasformazione, possiamo ricondurre l'equazione completa a quella di secondo grado pura; ammettendo k<0:

La chiave di volta è riuscire a trovare un numero che aggiunto al binomio ax2+bx produca un trinomio che corrisponda al quadrato di un binomio.

La soluzione arriva quando si osserva notando che quando a=1 per completare il binomio in modo da ottenere un trinomio che sia un quadrato, bisogna aggiungere il quadrato della metà di b cioè facciamo un paio di esempi

facciamo un esempio con un'equazione abbastanza semplice

al primo membro aggiungiamo e togliamo  

in questo modo non abbiamo fatto niente perchè +9-9=0 quindi l'operazione è lecita.

L'insieme delle soluzioni di questa equazione è S={+5;+1}

Per la dimostrazione bisogna ammettere a=1 quindi si ha

la metà di     è   ed il suo quadrato è   aggiungiamo e togliamo questa quantità.

         dunque

dato che a≠0 deve essere         cioè

questa è la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado. Applichiamola all'equazione precedente evidenziando i coefficienti

molto facile, dunque.

Discriminante                                  

Il termine Δ=b2-4ac è chiamato discriminante dell'equazione di secondo grado, il suo valore è fondamentale nella discussione della stessa. Riprendendo una delle uguaglianze precedenti

Δ>0 al secondo membro abbiamo un numero reale positivo

e l'equazione ha due soluzioni distinte

Δ=0 l'equazione diventa

Per ragioni analoghe a quelle viste nel caso delle equazioni monomie si dice che l'equazione ha due soluzioni coincidenti o che si ha una soluzione doppia per  

Δ<0 l'equazione

      non ha soluzioni

infatti per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali (∀x∈R) il primo membro può essere solo positivo o nullo (perchè elevato al quadrato) quindi non può essere uguale al secondo membro che sarebbe negativo. In sintesi

A questo punto, è evidente che per risolvere una qualsiasi equazione di secondo grado completa ax2+bx+c=0 bisogna prima di tutto calcolare il discriminante Δ in modo da cantrollare se ci sono soluzioni reali.
Se Δ≥0 si calcolano le soluzioni con la formula:

a : b : c :

Formula ridotta                          

Se dividiamo per due l'equazione completa

possiamo per comodità eseguire la sostituzione    in modo da ottenere

   se applichiamo la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado si ha

          formula ridotta

che è una formula risolutiva alternativa a quella ordinaria chiamata formula ridotta.

Relazione tra i coefficienti e le radici            

Consideriamo il trinomio di secondo grado

supponiamo che abbia radici reali, cioè che sia Δ≥0, le due soluzioni x1 ed x2 sono date dalle formule

     e      

calcoliamo la somma di queste soluzioni

calcoliamo il prodotto di queste soluzioni

Le relazioni che intercorrono tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado ed i coefficienti del suo trinomio rappresentativo sono:

Scomposizione del trinomio di secondo grado         

Il trinomio di secondo grado può sempre essere scritto come

       ma

   e          dunque

abbiamo dimostrato che se il trinomio ax2+bx+c ha radici reali cioè Δ≥0 esso può essere scomposto nella forma

con x1 e x2 soluzioni del trinomio assegnato.