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Equazione algebrica di secondo grado

Un'equazione, un'uguaglianza fra due espressioni contenenti un termine imprecisato che noi chiamiamo incognita, che implica la ricerca di determinati valori che chiamiamo soluzioni, i quali sostituiti al posto dell'incognita soddisfano l'uguaglianza.
In un'equazione di primo grado si visto come sia possibile trovare la soluzione che unica. L'equazione di primo grado caratterizzata dal fatto che in essa l'incognita ha esponente 1.
Se invece si ha un'equazione che contiene l'incognita con esponente (massimo) 2, allora si dice che tale equazione di secondo grado.

Un'equazione di secondo grado, pu sempre essere ridotta alla sua forma canonica:

I coefficienti a b e c sono numeri reali; il terzo coefficiente c viene chiamato il termine noto. Un'equazione di secondo grado si dice completa quando sia a b che c sono diversi da zero;
si dice incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c oppure entrambi sono uguali a zero.
Si hanno dunque i seguenti tipi di equazione:


A] Se b=0 e c=0 si ha

che pu essere soddisfatta per x=0 essendo a≠ 0 in tal caso l'equazione ha due soluzioni x1 ed x2, entrambe nulle.


B] Se uguale a zero solo il terzo coefficiente (termine noto) l'equazione assume la forma:

se raccogliamo la x a fattor comune

Per la legge dell'annullamento del prodotto, basta che uno dei due fattori sia uguale a zero per cui:


C] Se uguale a zero solo il coefficiente b (coefficiente del termine in primo grado):
                                    deve risultare:

abbiamo anche in questo caso due soluzioni (uguali ed opposte).


Nel caso in cui a≠0 b≠0 e c≠0 si applica la formula risolutiva del trinomio di secondo grado :

moltiplichiamo entrambi i membri per 4a

aggiungiamo a entrambi i membri b2.

da cui:

Questa la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado.
il termine

si dice discriminante; se:

esistono due soluzioni reali e distinte che si ottengono applicando la formula risolutiva

esistono due soluzioni reali e coincidenti
esistono due soluzioni complesse e coniugate
Se l'equazione si dice pura e diventa
Le due soluzioni sono
Se l' equazione si dice spuria e si risolve raccogliendo
per cui le soluzioni sono


Scomposizione del trinomio di secondo grado

Una volta trovate le soluzioni x1 ed x2 del trinomio, esso riconducibile alla forma:


 

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