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Legge di Coulomb  
    

La grandezza fisica responsabile dei fenomeni elettrici è la carica elettrica. Essa viene indicata con la lettera Q e la sua unità di misura è il Coulomb [C].
La carica elettrica ha una natura duale, nel senso che esistono due tipi di elettricità: l'elettricità positiva e l'elettricità negativa.
Due corpi elettricamente carichi si respingono se dotati di carica omonima ( entrambi di carica positiva o entrambi dotati di carica negativa ) si attraggono se dotati di carica eteronima ( di segno diverso ).
Non tutti i materiali hanno la peculiarità di caricarsi elettricamente o di condurre efficacemente l'elettricità, esistono infatti, materiali nei quali la carica elettrica fluisce con facilità ed essi vengono chiamati conduttori.
Altri materiali non lasciano sfuggire le cariche elettriche ed essi vengono definiti come isolanti.
In generale, un corpo che conduce bene l'elettricità è anche un buon conduttore di calore. Viceversa un pessimo conduttore di elettricità e anche un cattivo conduttore di calore.
Tutti i materiali metallici sono buoni conduttori.
Le plastiche, il vetro, la ceramica, sono isolanti.
Chiaramente l'elettricità ha a che fare con la capacità che hanno gli elettroni che orbitano attorno ai vari atomi di un materiale, a trasferirsi, qualora le condizioni lo permettano, da una regione all'altra dello spazio.
Per questa ragione non è mai stata osservata una carica elettrica di quantità minore alla carica dell'elettrone e=1,6·10-19 C, si dice quindi, che la carica elettrica ha un carattere granulare ( è quantizzata) ogni quantità è un multiplo intero della carica dell'elettrone 'e'.
Abbiamo detto che due corpi carichi entrambi positivamente o negativamente si respingono e che invece, due corpi dotati di carica di segno diverso si attraggono; il fenomeno elettrico si manifesta attraverso una forza meccanica. La formulazione della relazione tra questa forza meccanica e le cariche elettriche che la generano viene descritta dalla legge di Coulomb (1784).

La legge di Coulomb afferma che la forza di attrazione o di repulsione, che si esercita tra due corpi puntiformi elettrizzati, è direttamente proporzionale al prodotto delle quantità di elettricità possedute da due corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Se si indicano con Fo l'intensità della forza ( attrattiva o repulsiva ) che ciascuno dei due corpi esercita sull'altro nel vuoto, con Q e q le loro cariche elettriche e con r la loro distanza, la legge di Coulomb si scrive:

        con          

dove ko è un coefficiente di proporzionalità che per definizione è

        εo=costante dielettrica del vuoto     

Legge di Coulomb nel vuoto: ko=9·10-9 N·m2/C2

q1

q2

r  

F [N]

 

se l'ambiente non è il vuoto, ma uno specifico materiale, bisogna considerare
la costante dielettrica relativa εr di quel materiale per definire.

   per cui         la legge di Coulomb diventa

La direzione della forza F è quella della retta che congiunge i due corpi carichi. Come si vede dalla formula, l'intensità della forza diminuisce rapidamente (col quadrato della distanza) all'aumentare della loro distanza: si riduce a un quarto, a un nono..etc.
La forza espressa è repulsiva per cariche omonime (dello stesso segno) , attrattiva per cariche eteronime (di segno diverso).

Materiale (T=298°K) Costante dielettrica relativa
Ambra 2,8
Carta 2,1
Legno 3÷7
PVC 4,5
Silicio 12
Vetro 5÷10
Zucchero 3,3
Alcol etilico 24÷26
Ghiaccio 75
Acqua 80
Vapore acqueo 1,00060
aria 1,00056

Campo elettrico      

Come nel caso della forza di attrazione gravitazionale, si può pensare che la presenza di una carica elettrica vada a modificare le caratteristiche dello spazio che la circonda.
Per la legge di gravitazione, la presenza di una massa implica la creazione di un campo gravitazionale che interessa la zona circostante la massa, per l'elettricità la presenza di una carica in una certa regione dello spazio comporta l'attuazione istantanea di un campo elettrico: in tutti e due i casi si tratta di una forza che agisce a distanza; l'unica differenza è che il campo elettrico è duale ( la forza può essere attrattiva o repulsiva ) il campo gravitazionale non lo è ( l'interazione fra due masse può essere solo attrattiva ).

Per la carica elettrica viene, dunque, definito il vettore campo elettrico come:

                         ovviamente è anche

     

mentre nel vuoto si ha     

Viene definito campo elettrico una qualsiasi regione dello spazio in cui una carica elettrica sia soggetta all'azione di una forza.
La forza è causata dalla presenza di altre cariche elettriche nella regione interessata dal fenomeno.

Essendo la legge di Coulomb, formalmente identica alla legge di gravitazione universale. è facile realizzare il seguente parallelismo

Il campo generato da più di una carica, ad esempio dalle due cariche Q1 e Q2 è necessariamente la composizione vettoriale dei campi generati dalle due cariche.

Ipotizzando come carica di prova un protone ( carica positiva ). Si hanno delle varianti a secondo dell'intensità e del segno delle cariche circostanti

 

Dato che le forze a cui è soggetta la carica campione q sono:

   con il vettore campo

Come nel caso del campo gravitazionale, un campo elettrico può essere rappresentato da linee di forza . Queste linee sono disegnate in modo da essere tangenti in ogni punto alla direzione del campo elettrico in quel punto.

Un campo elettrico uniforme ha dappertutto la stessa intensità e direzione di conseguenza un campo elettrico uniforme è rappresentato da linee di forza parallele.
Un metodo classico per realizzare un campo elettrico uniforme è quello di caricare due lastre metalliche parallele con cariche uguali ma di segno opposto

Campo elettrico di una carica puntiforme      

Riscriviamo la legge di Coulomb ( nel vuoto )nella seguente forma

esprime la forza esercitata dalla carica Q sulla carica q posta a distanza r da Q, se volessimo usare la relazione del campo dobbiamo assumere

                       in modulo, mentre in forma vettoriale:

con versore      in direzione radiale uscente rispetto la carica Q se questa è positiva, entrante se negativa.

Potenziale elettrico      

Si è accennato prima che il campo elettrico è caratterizzato da una energia potenziale

Nel campo gravitazionale per portare una massa m dal suolo ad una altezza h, è necessario usare una forza esterna -p uguale e contraria al peso capace di compiere il lavoro



Nel campo elettrico per portare la carica di prova q ad una distanza d dalla carica fissa Q è necessario l'intervento di una forza -F uguale e contraria alla forza del campo e capace di fare un lavoro


In entrambi i casi il lavoro compiuto dalla forza esterna viene immagazzinata dal corpo sotto forma di energia potenziale U quindi

U=mgh          per il campo gravitazionale
U=qEd           per il campo elettrico

La particella, possiede una energia potenziale perché il campo compie un lavoro quando sposta la particella da una posizione ad un'altra percorrendo la distanza d.
Il potenziale elettrico in un punto del campo è definito come il rapporto fra l'energia potenziale e la carica della particella in quel punto:

   l'unità di misura è J/C=V [volt]

Si nota come sia anche      in termini vettoriali

       questa formula è la relazione fra potenziale e campo.

Per questo motivo, il campo può essere espresso come [ V/m ] (volt su metro).

Il potenziale può essere dunque interpretato come il lavoro svolto dal campo E per spostare la carica q di uno spostamento d.

sappiamo che il meccanica il lavoro viene definito come forza×spostamento

  mentre il campo elettrico è definito come

   sostituendo questa forza F nell'equazione del lavoro

Il lavoro compiuto dalla forza elettrica F per portare la carica q dal punto 1 al punto 2 è uguale al prodotto fra il valore della carica e la differenza di potenziale fra i due punti.
Si vede come per una carica di valore unitario q=1C il lavoro compiuto da F coincide con la differenza di potenziale fra la posizione finale e quella iniziale.

Val la pena riassumere

Quando si tiene conto della massa delle cariche in movimento non bisogna dimenticarsi della legge di Newton F=ma. Per gli spostamenti diretti secondo le linee del campo si ha la relazione:

Forza elettromotrice          

Pensiamo ad una carica unitaria q=1C in un campo E: il lavoro compiuto per spostare questa carica lungo il generico percorso l è dato da

    ma questo lavoro può essere espresso in volt perché coincide con L/q.

Si è visto come per un campo elettrostatico la differenza di potenziale fra due punti è uguale al lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare la carica unitaria:

Questa differenza di potenziale viene anche chiamata forza elettromotrice (f.e.m.). Il percorso l è arbitrario quindi sei il il punto finale 2 e quello iniziale 1 coincidono cioè se il percorso scelto è un percorso chiuso si ha:

e l'integrale di linea si esprime come integrale ciclico

       lavoro compiuto lungo un percorso chiuso

Un tale integrale viene chiamato circuitazione.
Nel campo elettrostatico, il lavoro compiuto nello spostare una carica lungo un percorso chiuso
( circuitazione ) è sempre nullo
.

Questa proprietà (presente anche nel campo gravitazionale) qualifica il campo elettrico come campo di tipo conservativo e le forze elettrostatiche come forze conservative.

Flusso di un campo elettrostatico          

Prendiamo una superficie piana di area S attraversata da un campo E uniforme.

Se la normale alla superficie forma un angolo θ con la direzione del campo, definiamo il flusso elettrico come la quantità scalare

Se la superficie è perpendicolare al campo θ=0 → cosθ=1 il flusso è massimo; se la superficie è parallela al campo θ=90° → cosθ=0 il flusso è nullo.

Se la superficie e/o il campo non è uniforme si divide la superficie i tanti elementi dS1 dS2…dSn arbitrariamente piccoli, per ciascuno definianiamo un versore unitario u1 u2..un normale alla superficie in quel punto, pertanto

con i vettori campo elettrico  
   
inclinati con angoli
  
verso le rispettive superfici si ha

cioè bisogna fare un integrale di superficie.

E' importante osservare che l'argomento dell'integrale è il prodotto scalare



Con  che ha direzione normale all'elemento di superficie considerato.

Qui maggiori informazioni sull'integrale di superficie.
Se la superficie è chiusa, come nel caso di una sfera, con i versori sempre normali alla superficie, si usa la notazione:

                        Il flusso è positivo se uscente.

Legge di Gauss per il campo elettrico          

Consideriamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme che come visto prima vale

Il versore normale alla superficie di una sfera concentrica rispetto la particella, coincide con il versore lungo la direzione radiale ur.
L'angolo θ fra il campo elettrico E ed il versore normale ur è zero, quindi cosθ=1 sempre.
Il campo ha lo stesso modulo in tutti i punti della superficie sferica, si ha

si trova che il flusso elettrico è indipendente dalla superficie.
Quindi, in generale se una carica q si trova all'interno di una superficie chiusa il suo flusso è costante e vale q/εo. Se invece la carica si trova all'esterno della superficie chiusa il flusso elettrico attraverso la superficie è nullo. Questo è il teorema di Gauss sul campo elettrico:

Il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa che circonda le cariche q1 q2 q3..è:

    con   

carica totale contenuta all'interno della superficie chiusa.

Campo elettrico generato da una distribuzione piana          

La legge di Gauss torna utile quando vogliamo calcolare il campo elettrico prodotto da distribuzioni di carica che hanno determinate simmetrie geometriche.

E' il caso di una carica distribuita uniformemente su di un piano con densità di carica

Le linee di flusso sono ortogonali al piano e se la carica è positiva esse sono uscenti da esso.
Scegliendo come superficie chiusa il cilindro indicato, si vede come il flusso totale emesso dal piano è dato dal flusso uscente da S1 che vale +E·S e dal flusso uscente attraverso S2 che vale anche lui +E·S.
Notiamo, infatti, come in tutti i possibili elementi di superficie laterale i due vettori E e dS sono ortogonali, quindi il loro prodotto scalare è zero. Il flusso uscente è dato solo dal contributo del campo per le superfici trasversali del cilindro.

 

Quindi il flusso totale uscente vale 2ES; dalla legge di Gauss

      quindi      

Campo elettrico fra due superfici piane parallele          

Nel caso di due piani paralleli con cariche uguali ma segni opposti. Si nota come nello spazio esterno ai due piani vi sono campi elettrici uguali in modulo ma di verso opposto che danno luogo ad un campo risultante nullo. Nella zona compresa fra i due piani , i campi hanno lo stesso verso e il campo risultante è il doppio del valore dal campo prodotto da un singolo piano si avrà dunque:

Se d è la distanza compresa fra i due piani, la differenza di potenziale vale

Campo elettrico generato da una carica sferica          

Considerando una sfera di raggio a e carica q si nota che per simmetria il campo sia in ogni punto radiale e dipenda solo dalla distanza r del punto in analisi rispetto al centro della sfera. Si traccia una generica superficie S di raggio r concentrica alla sfera carica e si trova il flusso elettrico che la attraversa

se r > a tutta la carica è contenuta dentro la superficie S; quindi applichiamo la legge di Gauss

     si ha      

che poi è lo stesso risultato che si è avuto nel caso della carica puntiforme.
Si può dire, dunque, che il campo al di fuori di una sfera carica è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel suo centro.

Considerando il caso r < a bisogna distinguere.
Se la carica si trova solo sulla superficie della sfera la carica totale interna alla superficie S' concentrica alla sfera è zero quindi per la legge di Gauss E=0.

Se invece pensiamo che la sfera sia carica uniformemente su tutto il suo volume chiamiamo q' la carica interna alla superficie S' concentrica ed interna alla sfera.

    per cui, la legge di Gauss fornisce la soluzione

Il campo elettrico in un punto interno ad una sfera uniformemente carica in tutto il suo volume è direttamente proporzionale alla distanza del punto considerato dal centro della sfera.

Campo elettrico generato da un cilindro          

Ipotizziamo un cilindro di lunghezza L di raggio a con λ la carica per unità di lunghezza, quindi con q=λ·L. Si intuisce come il campo elettrico dipende solo dalla distanza del punto dall'asse del cilindro ed è sempre diretto radialmente. Ipotizziamo una superficie S di raggio r > a il flusso emesso lateralmente è

in questo caso il campo è inversamente proporzionale alla distanza r.
Notiamo come in questa formula il campo sia indipendente dal raggio del cilindro, quindi essa può essere usata anche nel caso di un filo ( unidimensionale ) del quale sia nota λ.

Nel caso si abbia r < a anche in questo caso, se la carica è distribuita solo sulla superficie del cilindro, internamente ad esso non si ha carica, allora per la legge di Gauss si ha E=0.

Se invece la carica è distribuita uniformemente nel volume del cilindro, si deve prima trovare la carica q' contenuta internamente alla superficie S' di raggio r

    poi si applica la legge di Gauss

    e si trova infine

in questo caso il campo è direttamente proporzionale alla distanza r.

 












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