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Distribuzione di Poisson               

La distribuzione di Poisson, anche chiamata distribuzione degli eventi rari è una approssimazione della distribuzione binomiale, definita per valori interi non negativi. A differenza della distribuzione binomiale e ipergeometrica è illimitata. Come funzione di probabilità viene definita nella forma:

                      con x ∈ N+=0,1,2,3.. e λ > 0

Il termine e=numero di Nepero=2,718
Il termine λ=np è il valor medio
Più precisamente si ha :

valor medio varianza deviazione standard della distribuzione di   PoissonSi chiama distribuzione degli eventi rari perché può essere applicata quando la probabilità p di successo è molto piccola (p → 0) quando il numero n delle prove è molto elevato (n → ∞) quando il prodotto n·p è costante ( λ=cost.).

L'approssimazione della binomiale ad una Poissoniana è accettatabile si n>50 ed λ=n·p≤10.
La tabella allegata, restituisce la probabilità cumulativa in funzione di x e di λ.
Si tratta di una distribuzione di probabilità dove si nota

           perché dall'analisi matematica si ha         

E' possibile constatare che la distribuzione di Poisson ha una asimmetria positiva, inoltre al crescere di λ la distribuzione tende a diventare simmetrica.

λ px
x (cumul.)

Esaminando l'andamento della distribuzione al variare di x si può calcolare il rapporto tra due probabilità successive:

   si ha px+1  ≥ px per     cioè se x ≤ λ-1.

Si distinguono tre casi:

1) λ < 1 : il massimo valore di probabilità si ha per x=0 con po=e.
2) λ=1 si hanno due massimi po=p1=e.
3) λ > 1 la probabilità e crescente per x<λ-1 ed è decrescente per x>λ .
Vi sono uno o due massimi di probabilità nell'intervallo λ-1 ≤ x ≤ λ.

Esempio: studiare la distribuzione di probabilità della variabile casuale di Poisson con parametro λ=0,5 e tracciarne il grafico.

Calcoliamo i primi valori della distribuzione

x px
0 e-0,5=0,6065
1 0,5e-0,5=0,3033
2 0,0758
3 0,0126
4 0,0016

Esempio: tracciare il grafico della distribuzione di Poisson per λ=1

Si ha, dunque, la distribuzione di probabilità     

x px
0 e-1=0,3679
1 e-1=0,3679
2 0,0758
3 0,0126
4 0,0016

Esempio: è stato rilevato che il numero di auto che arrivano ad un casello ad intervalli di tempo costanti è una variabile casuale con λ=3. Disegnare una rappresentazione grafica e determinare la probabilità che in un intervallo prefissato arrivino meno di 3 auto.

La distribuzione ha legge    

x px
0 e-3=0,0489
1 3e-3=0,1494
2 0,2240
3 0,2240
4 0,1680
5 0,1008
6 0,0504

Distribuzione di Poisson e distribuzione di Bernoulli                  

E' possibile ottenere la distribuzione di Poisson dalla distribuzione di Bernoulli tramite i seguenti passaggi.
Usando la variabile aleatoria X che indica il numero di successi e che può assumere i valori interi positivi 1,2,3.. la distribuzione binomiale può essere scritta

   λ=n·p tenendo conto che q=1-p

    sviluppando si ha

        sostituendo

L'approssimazione consiste nell'osservare che per n → ∞ dall'analisi si ha

        inoltre

    e          si ha    

Valor medio                  

Il calcolo del valor medio (valore atteso o speranza matematica) si ottiene con i seguenti passaggi:

Varianza                  

La dimostrazione che σ2=λ è più complessa:

ma per gli n valori     dunque

       partendo da qui si osserva:

   Sulla prima serie, usando l'uguaglianza (artificio) x2=x(x-1)+x

  

la seconda serie, già sappiamo ha somma λ mentre la prima

quindi, si avrà: σ2=(λ2+λ)- λ2

 

 

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