Distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson, anche chiamata distribuzione degli eventi rari è una approssimazione della distribuzione binomiale, definita per valori interi non negativi. A differenza della distribuzione binomiale e ipergeometrica è illimitata. Come funzione di probabilità viene definita nella forma:

con x ∈ N⁺=0,1,2,3.. e λ > 0

Il termine e=numero di Nepero=2,718
Il termine λ=np è il valor medio
Più precisamente si ha :

valor medio varianza deviazione standard della distribuzione di Poisson

Si chiama distribuzione degli eventi rari perché può essere applicata quando la probabilità p di successo è molto piccola (p → 0) quando il numero n delle prove è molto elevato (n → ∞) quando il prodotto n·p è costante ( λ=cost.).
L'approssimazione della binomiale ad una Poissoniana è accettatabile si n>50 ed λ=n·p≤10.

La tabella allegata, restituisce la probabilità cumulativa in funzione di x e di λ.
Si tratta di una distribuzione di probabilità dove si nota

perché dall'analisi matematica si ha

E' possibile constatare che la distribuzione di Poisson ha una asimmetria positiva, inoltre al crescere di λ la distribuzione tende a diventare simmetrica.

λ		p_x
x		(cumul.)

Esaminando l'andamento della distribuzione al variare di x si può calcolare il rapporto tra due probabilità successive:

si ha p_x+1 ≥ p_x per cioè se x ≤ λ-1.

Si distinguono tre casi:

1) λ < 1 : il massimo valore di probabilità si ha per x=0 con p_o=e^-λ.
2) λ=1 si hanno due massimi p_o=p₁=e^-λ.
3) λ > 1 la probabilità e crescente per x<λ-1 ed è decrescente per x>λ .
Vi sono uno o due massimi di probabilità nell'intervallo λ-1 ≤ x ≤ λ.

Esempio: studiare la distribuzione di probabilità della variabile casuale di Poisson con parametro λ=0,5 e tracciarne il grafico.

Calcoliamo i primi valori della distribuzione

distribuzione di poisson

x	p_x
0	e^-0,5=0,6065
1	0,5e^-0,5=0,3033
2	0,0758
3	0,0126
4	0,0016

Esempio: tracciare il grafico della distribuzione di Poisson per λ=1

Si ha, dunque, la distribuzione di probabilità

x	p_x
0	e^-1=0,3679
1	e^-1=0,3679
2	0,0758
3	0,0126
4	0,0016

Esempio: è stato rilevato che il numero di auto che arrivano ad un casello ad intervalli di tempo costanti è una variabile casuale con λ=3. Disegnare una rappresentazione grafica e determinare la probabilità che in un intervallo prefissato arrivino meno di 3 auto.

La distribuzione ha legge

x	p_x
0	e^-3=0,0489
1	3e^-3=0,1494
2	0,2240
3	0,2240
4	0,1680
5	0,1008
6	0,0504

Distribuzione di Poisson e distribuzione di Bernoulli

E' possibile ottenere la distribuzione di Poisson dalla distribuzione di Bernoulli tramite i seguenti passaggi.
Usando la variabile aleatoria X che indica il numero di successi e che può assumere i valori interi positivi 1,2,3.. la distribuzione binomiale può essere scritta

distribuzione di bernoulli λ=n·p tenendo conto che q=1-p