Dinamica del moto rotatorio : esercizi risolti

Esercizio 1

In un trattore, il volano con massa 80 kg e diametro esterno di d=700mm viene avviato con una manovella di braccio b=200mm attraverso una forza di 100N. Se l'avviamento a mano dura 8 sec. che numero di giri avrà raggiunto il volano all'inizio del moto proprio?


     [312g/m]

Esercizio 2

Un disco di massa 50kg e raggio 180cm ruota attorno al suo asse.
Sull'orlo del disco viene applicata una forza F=19,6N. Il disco parte da fermo.
Calcola:



A]La sua accelerazione angolare
B]L'angolo descritto dopo 5 sec.
C]Il momento della quantità di moto
D]La sua energia cinetica dopo 5sec.

[α=0,435rad/s² | θ=5,45rad | L=176,58kgm²/s |  K=192,47J ]

Esercizio 3

Il volano di una macchina a vapore ha massa m=200kg e momento di inerzia J=800kgm².
Quando sta ruotando alla velocità di 120g/m viene chiuso l'ingresso del vapore.
Il volano ci mette 5 minuti a fermarsi. Qual è il momento dovuto all'attrito sull'asse del volano?

[  M=33,51Nm   ]

Esercizio 4

Una puleggia di raggio r=40cm del peso di 700N ruota partendo da ferma sotto l'azione di una massa di 70N sostenuta da una fune avvolta sulla puleggia.

Quale sarà la velocità angolare di quest'ultima 2 secondi dopo la partenza.

[ω=8r/s ]

Esercizio 5

In figura, il blocco A accelera verso il basso di 5m/s² ed è collegato al cilindro B di peso 1610N attraverso una fune di peso trascurabile e passante su un tamburo liscio. Il cilindro è soggetto ad una coppia antioraria C=500Nm .

Calcolare il peso di A e le reazioni della cerniera O.

[p_A=1856,5N |R_x|=814,4N R_y=2016,2N ]

Esercizio 6

Trova l'accelerazione angolare della puleggia illustrata che ha raggio R=27cm che ruota sotto l'azione dei due pesi p=133N e q=89N.







    [α=7,2r/s² ]

Esercizio 7

Per il sistema schematizzato, determinare la velocità angolare del disco e le accelerazioni di m_q ed m_p. Calcolare anche la tensione delle funi ponendo m_q=600g m_p=500g la massa del volano è M=800g con R=8cm ed r=6cm.

[α=21,53 r/s² | T_q=4,85N ; T_p=5,55N ]

Esercizio 8

Un cilindro di raggio r=15cm con forza peso p=60N rotola su un piano inclinato di 25° rispetto l'orizzontale,

Calcola la forza d'attrito e l'accelerazione del suo centro di massa sapendo che il piano è inclinato di γ=25°.

[R=8,56N a=2,7m/s² ]

Esercizio 9

Un cilindro di raggio r=50cm e di peso p=40N si muove in un dato istante alla velocità v=10m/s su un piano inclinato di γ=20° dotato di attrito.

Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto della sua traiettoria?

[ t=4,4 s ]

Esercizio 10

Un volano di massa m=2000kg e raggio r=50cm viene posto in rotazione con accelerazione costante attorno al suo asse e raggiunge la velocità angolare ω=10 rad/s in un intervallo t=40s calcolare:
A) Il momento meccanico M necessario per porre in rotazione il volano.
B) L’accelerazione angolare α del volano.
C) Il lavoro necessario per portarlo a velocità angolare ω.
D) Il numero di giri compiuti nel tempo t.

[ M=62,5 Nm | α=0,25 rad/s² | L=12.500 J | n=31,8 giri]

Esercizio 11

Un rullo cilindrico di massa m=60kg raggio r è disposto su di un piano orizzontale perfettamente liscio. Applicando una forza F parallela al piano di appoggio, esso si pone in movimento con moto uniformemente accelerato. Tenendo conto dell'inerzia della rotazione, calcolare il valore della forza motrice necessaria per conferire al rullo una accelerazione pari a (2/3)g.

[F=588N ]

Esercizio 12

Ad un filo inestensibile e di massa trascurabile che passa su una puleggia di raggio r=10cm e massa m_o=2kgsono sospese due masse uguali M=1kg e il sistema è in equilibrio.
Se da un lato si aggiunge una ulteriore massa m=100g il sistema inizierà a muoversi partendo dallo stato di quiete. Calcolare dopo quanto tempo la massa m sarà scesa di 1m nei due casi
a).puleggia bloccata con filo che scorre senza attrito
b).puleggia libera trascinata in rotazione.

[ a) 2,07s | b) 2,5s ]

Esercizio 13

Calcola l'accelerazione raggiunta dalla massa m_p collegata ad una massa m_q con una fune inestensibile e di peso trascurabile, tenendo conto dell'inerzia alla rotazione offerta dalla puleggia di massa m_o e di raggio r.

Esercizio 14

Un corpo cilindrico di massa m=150kg e di raggio r è disposto su di un piano inclinato di γ=30° ed è sollecitato da una forza continua e costante parallela al piano di intensità F=(2/3)mg.

Trascurando gli attriti e tenendo conto dell'inerzia alla rotazione, calcolare il tempo impiegato a compiere uno spazio di 40m.

[1,09 m/s²]

Esercizio 15

Un cerchio disposto verticalmente viene spinto lungo un piano orizzontale con una velocità iniziale v_o=8m/s ma senza rotazione: scivolando.

La forza di attrito provoca la perdita della velocità lineare si traslazione per acquisire una velocità angolare. Calcolare la velocità del centro di massa quando il cerchio cesserà di scorrere ed inizierà a rotolare.

[ 4 m/s ]

Esercizio 16

Il momento di inerzia di una ruota è di 42,14kgm² e ad un dato istante la sua velocità angolare è di 10rad/s. Dopo aver ruotato di un angolo di 100°rad la sua velocità angolare è di 100rad/s.
Calcolare il momento agente sulla ruota e la sua variazione di energia cinetica.

[M=2086 Nm | ΔK=208.593 J]

Esercizio 17

Una ruota è soggetta, durante la rotazione, ad un attrito sull’asse del momento pari 10Nm.
Il raggio della ruota è di 0,6 m, la sua massa è di 100kg e la sua velocità angolare è di 175 rad/s.

Quanto tempo impiega la ruota per fermarsi, quanti giri farà prima di fermarsi?

[t=315s | 4386 giri]

Esercizio 18

Un cilindro di massa 20kg e di raggio R=0,25m ruota attorno all’asse passante per il suo centro alla velocità n=1200g/m. Quale è la forza tangenziale costante che è necessaria applicargli per fermarlo in 1800 giri?

[1,74N]

Esercizio 19

Una fune è arrotolata attorno ad un cilindretto, supponendo di tirare con una forza F, calcolare l’accelerazione del cilindro. Determinare l’accelerazione periferica del cilindro, ponendo : R=5 cm, r=3 cm, F=9,8 N ed m=1 kg.

[a=0,26 m/s²]

Esercizio 20

Nel sistema disegnato si ha M=1 kg, m=0,2, kg r=0,2m, calcolare l’accelerazione lineare di m, l’accelerazione angolare del cilindro M e la tensione nella fune.

Si trascuri l’effetto della puleggia.
[T=2,8 N | a=2,8]

Esercizio 21

Per il sistema disegnato, costituito da due pulegge solidali e calettate sullo stesso albero, calcolare l’accelerazione di m, supponendo che il momento di inerzia del piccolo disco di raggio r sia trascurabile. Assumere r=4 cm, R=12 cm, M=4 kg ed m=2kg.

[a=0,981 m/s²]

Esercizio 22

Il sistema disegnato è costituito dalla massa M=6 kg, m=4 kg ed m'=3 kg con R=0,4 m.
Calcolare l’energia cinetica totale acquistata dal sistema dopo 5 sec. e la tensione nel cavo.

[E_k=120,3 J | T=35,3 N | T'=32,3 N ]

Esercizio 23

I due dischi disegnati hanno masse uguali m=0,3kg e raggi uguali R=0,2m.
Il disco superiore può ruotare liberamente attorno ad un asse orizzontale che passa per il suo centro.
Una fune è arrotolata attorno ad entrambi i dischi e quello inferiore viene lasciato libero di cadere.
Trovare l’accelerazione del centro di massa del disco inferiore, la tensione della fune e l'accelerazione angolare di ogni disco attorno al proprio centro di massa.

[a=6,54m/s² | T=0,981N | α=32,7 r/s²]

Esercizio 24

Il sistema di pulegge solidali e calettate sullo stesso albero di figura ha un momento di inerzia J=13,3kgm², calcola l'accelerazione angolare delle pulegge e i tiri delle funi, sapendo che R=0,6m, r=0,3m, q=1000N, p=3000N.

[ α=12 r/s² | T_q=1733N | T_p=1733N ]

Esercizio 25

Un anello di ferro di raggio esterno 0,6 m e raggio interno 0,5 m ha massa 18 kg, rotola lungo un pino inclinato raggiungendone il fondo con velocità di 3,6 m/s.
Calcola l’energia cinetica totale e la quota di partenza.
[ K=215,46 J | h=1,22m ]

Esercizio 26

Un disco uniforme di raggio r=2cm e massa m=20g può ruotare intorno al suo centro. Il disco è inizialmente in quiete. A partire da tempo t=0, devono essere applicate due forze tangenzialmente al disco come indicato, in modo che al tempo t=1,25 s il disco abbia una velocità angolare di 250 rad/s in senso antiorario.

Si ha F₁= 0,100 N. Quale deve essere l’intensità della forza F₂?

[ 0,14 N ]

Esercizio 27

Un cilindro uniforme di raggio r=10 cm e massa m=20 kg è montato in modo da ruotare liberamente attorno ad un asse orizzontale parallelo distante h=5cm dall'asse longitudinale centrale del cilindro.

Se il cilindro viene rilasciato partendo da fermo con l’asse del suo centro di massa alla stessa altezza dell'asse attorno al quale il cilindro ruota, qual è la velocità angolare del cilindro in quanto passa attraverso la sua posizione più bassa?

[ 11 rad/s ]

Esercizio 28

Una sfera omogenea di massa m=30kg rotola senza strisciare su un piano orizzontale di attrito trascurabile con la velocità del suo centro di massa che vale v_c=10m/s. Calcolare l'energia cinetica della sfera.

[ K=2100 J ]

Esercizio 29

Due blocchi di massa m₁=m₂=6,2kg sono collegati da un cavo di massa trascurabile attraverso una puleggia di raggio r=2,4cm avente momento di inerzia J=7,4·10^-4 kg·m². La corda non scivola sulla puleggia; non c’è attrito tra il tavolo e il blocco scorrevole mentre si sa che l'asse della puleggia è privo di attrito. Quando questo sistema è sganciato da fermo, la puleggia ruota di 0,13 rad in 91 ms e l'accelerazione dei blocchi è costante.

Trovare l'accelerazione angolare della puleggia, l'accelerazione di entrambi i blocchi e la tensione delle corde T₁ e T₂. e il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e la massa m₂.

[ α=31,4 rad/s² | a=0,75 m/s² | T₁=56,15 N | T₂=55,18 N | f_d=0,83]

Esercizio 30

Un un asta lunga h=1m è tenuta verticalmente con un'estremità sul pavimento ed è quindi lasciata cadere.

Trova la velocità dell'altra estremità appena prima che tocchi il pavimento, supponendo che l'estremità sul pavimento non la faccia non scivolare.

[5,42 m/s]

Esercizio 31

Una sfera omogenea di raggio r e di massa m=1kg rotola senza scivolare partendo dalla sommità di un piano inclinato di altezza h=1,5m.

Calcolare la velocità v_c del centro di massa della sfera al termine del piano inclinato.

[ 4,58 m/s ]

Esercizio 32

Una sottile asta uniforme di lunghezza L=2m e può ruotare liberamente senza attrito attraverso un'estremità incernierata. L'asta viene rilasciata da riposo all'angolo θ=40° sopra l'orizzontale e scende per gravità.

Usare il principio di conservazione dell'energia per determinare la velocità angolare dell'asta quando passa per la posizione orizzontale.

[3,1 rad/s]

Esercizio 33

La puleggia disegnata ha una massa M=400g e raggio r=12cm, mentre il blocco appeso al cavo inestensibile e di massa trascurabile è m=50g.

Trovare la velocità del blocco dopo che è sceso di 50cm a partire da riposo.

[ 1,4 m/s ]

Esercizio 34

Un volano, costituito da un cilindro cavo di raggio R=30cm è posto in rotazione tirando una fune inestensibile e di peso trascurabile avvolto su una puleggia di raggio r=15cm e massa trascurabile fissata sul centro del volano.

Se la massa del volano è m=100kg e la forza esercitata dalla fune è F=200N, calcolare l’accelerazione di ogni punto della fune.

[ 0,5 m/s²]

Esercizio 35

Una puleggia di raggio r=20cm è montata su un piano orizzontale privo di attrito. Il momento di inerzia della puleggia attorno al suo centro di rotazione è J=0,05 kg·m².

Un cavo inestensibile di massa trascurabile è avvolto intorno alla puleggia ed è fissato ad una massa m=2kg che scorre su una superficie orizzontale priva di attrito. Se una forza orizzontale F=3N viene applicato al blocco come si vede nel disegno quanto vale l'accelerazione angolare della puleggia supponendo che il cavo non scivoli su essa?

[ 4,6 rad/s² ]

Esercizio 36

Calcolare la velocità periferica dell'estremo libero di un'asta omogenea lunga l=2m e di massa m=2kg, incernierata ad un estremo che abbandona la sua posizione verticale di equilibrio quando l'asta raggiunge la posizione orizzontale.

[ 7,67 m/s ]

Esercizio 37

Una ruota posta in un piano verticale ha momento di inerzia J=5·10^-2 kg·m² rispetto al proprio asse di rotazione. Sul perno della ruota, che ha raggio r=5cm è avvolta una fune inestensibile di massa trascurabile al cui estremo libero è fissata una massa m.

Facendo cadere la massa m per un tratto h=2m la ruota raggiunge, nonostante gli attriti del perno, la velocità angolare ω_o=10 rad/s. Sapendo che, se si taglia la fune, la ruota descrive un angolo θ=2 rad prima di fermarsi, calcolare:
Il momento costante M delle forze di attrito sul perno.
Il valore della massa m.

[ M=1,25 Nm | m=2,67 kg]

Esercizio 38

Un cilindro omogeneo di massa M=70kg e raggio r=60cm è libero di ruotare attorno al proprio asse disposto orizzontalmente. Una massa m è fissata all’estremo di una fune inestensibile di peso trascurabile avvolta attorno al cilindro viene lasciata cadere da ferma percorrendo un tratto h=5m in verticale.

Sapendo che il sasso impiega un tempo t=3 s per percorrere il tratto h, calcolare:
La tensione della fune.
Il valore della massa m.
La velocità angolare ω del cilindro alla fine del tempo t.

[ T= 38,8 N | m=4,47 kg | ω=5,5 rad/s ]

Esercizio 39

Su una puleggia calettata su un asse orizzontale viene avvolto un cavo che che ad un suo estremo libero mantiene sospesa la massa m₁=460g e all’altro la massa m₂=500g. La puleggia ha raggio r=5cm.

Quando il sistema viene rilasciato da fermo la massa m2 scende di h=75cm in 5 secondi senza che vi sia scivolamento tra cavo e puleggia. Trovare l’accelerazione delle due masse, la tensione T₁ e T₂ sui due lati del cavo, l’accelerazione angolare della puleggia ed infine il momento di inerzia della puleggia rispetto al suo asse di rotazione.

[ a=0,06m/s² | T₁=4,54 N | T₂=4,87 N | α=1,2 rad/s² | J=0,0138 kg·m² ]

Esercizio 40

Due sfere di ugual massa m sono fissate alle estremità libere di un’asta rigida priva di massa fulcrata ad una cerniera attorno alla quale è libera di ruotare la cerniera si trova ad una distanza L₁=20 cm da un estremo e ad L₂=80 cm dall’altro estremo.

L’asta viene tenuta inizialmente in posizione orizzontale e poi rilasciata. Trovare il modulo dell’accelerazione tangenziale iniziale della sfera 1 e della sfera 2.

[ a₁=1,7 m/s² | a₂=6,9 m/s² ]