Dinamica del corpo rigido

Il momento della quantità di moto rispetto ad un punto O di una particella con massa m che si muove con velocità v e quindi con quantità di moto:   

È dato dal prodotto vettoriale:      [N· m]

Quindi il vettore momento della quantità di moto è un vettore perpendicolare al piano determinato da r (raggio di curvatura) e v; esso vale m·r·v·sinθ dove θ è l'angolo compreso fra i vettori r e v.

Nel caso di moto circolare i vettori r e v sono perpendicolari e Dal punto di vista vettoriale la direzione di L e uguale a quella di ω.

Considerando che nel caso generale di moto curvilineo la velocità può essere decomposta nelle due componenti: normale e trasversale, deriviamo rispetto al tempo la: Ottenendo (per le proprietà delle derivate)

ricordiamoci che vale la regola:   
Ma       e inoltre:    ed è sempre parallelo a v; cioè:

D'altra parte è per definizione ; pertanto:
         è il momento della forza F rispetto all'asse di rotazione; N.B.:
Nel caso di moto circolare r ed F sono perpendicolari; per cui

concludendo:
La derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto di una particella è uguale al momento della forza ad esso applicata.
Queste considerazioni valgono nel caso di una particella singola.
In meccanica è diffusa la nozione di corpo rigido, intendendo, con questa espressione un sistema costituito da molte particelle la cui mutua distanza rimane invariata, anche durante il moto.

Un corpo rigido può compiere due tipi di moto: una traslazione, quando tutte le particelle descrivono traiettorie parallele, oppure una rotazione attorno ad un asse.

Il moto più generale di un corpo rigido si può considerare come una combinazione di una rotazione e di una traslazione.

Considerando un generico corpo rigido che ruoti attorno ad un asse z con velocità angolare ω.

Notiamo che ognuna delle sue particelle effettua un'orbita circolare con centro sull'asse z. La particella Ai, descrive un cerchio di raggio Ri=AiBi con velocità : Con che è il vettore posizione rispetto l'origine O. Il modulo della velocità è

Notare come abbiamo scritto e non i dato che per un corpo rigido la velocità angolare è uguale per tutte le particelle. Il momento della quantità di moto della particella A_i rispetto all'origine degli assi O è:
     [m²kg/s]
La sua direzione è perpendicolare al piano determinato dai vettori r_i e v_i e giace nel con il piano determinato da r_i e dall'asse z e forma un angolo pari a con l'asse z.
Il modulo di L_i è m_i·r_i·v_i e la sua componente lungo l'asse z vale:

La componente della quantità di moto totale del corpo che ruota attorno all'asse z è:

La quantità:

È chiamata momento di inerzia del corpo rispetto all'asse z.

Possiamo dunque scrivere :

Il momento totale della quantità di moto del corpo è:   
In generale non è parallelo all'asse di rotazione.
Si può dimostrare che, per ogni corpo, quale sia la sua forma, esistono tre direzioni, mutuamente ortogonali, per le quali il momento della quantità di moto è parallelo all'asse di rotazione.
Questi sono detti assi principali di inerzia e i corrispondenti momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia indicati con J₁ J₂ e J₃.

Quando il corpo ruota attorno ad un asse principale di inerzia Il momento L della quantità di moto totale è parallelo alla velocità angolare ω, che è sempre diretta come l'asse di rotazione: possiamo scrivere:



Calcolo del Momento d'inerzia

La tecnica per il calcolo del momento d'inerzia consiste nel sostituire la sommatoria per la somma di particelle con un'integrale:

       [m²kg]

Considerando con   la densità del corpo.

L'integrale si riduce ad un fattore geometrico.

I momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli sono legati da una formula denominata teorema di Steiner: Dove M è la massa del corpo. Questo è noto come il teorema degli assi paralleli.

Esiste inoltre il teorema degli assi perpendicolari:
Considerando una distribuzione di massa nel piano xy di un sistema di coordinate xyz. J_x, J_y, J_z siano i momenti di inerzia degli assi x,y e z; si ha:

Ad esempio:
si calcoli il momento di inerzia di una sbarra, rispetto ad un asse perpendicolare alla sbarra e passante
A) per un'estremità
B) per il centro.


Se L è la lunghezza della sbarra ed S la sua sezione, dividendo la sbarra in tanti piccoli segmenti dx, il volume di ciascun segmento dV=S·dx, sapendo che la distanza fra ciascun elemento e l'asse Y è R=x, avremo

Dove M è la massa della sbarra. Nel secondo caso:

Altro esempio: Calcolare il momento di inerzia di un disco rispetto all'asse Z. Per ragioni di simmetria siamo portati ad usare un anello di raggio r e di larghezza dr. Se h è lo spessore del disco, il volume dell'anello sarà:

Tutti i punti dell'anello si trovano ad una distanza r dall'asse Z.

Ma   è il volume del disco, che moltiplicata per la densità :    
fornisce la massa del disco; quindi:

Momenti d'inerzia di uso frequente
Momento d'inerzia per un'asta omogenea	Momento d'inerzia per una lamina rettangolare omogenea
Momento d'inerzia per un cilindro omogeneo	Momento d'inerzia per un disco omogeneo
Momento d'inerzia per una sfera omogenea	Momento d'inerzia per una circonferenza omogenea
Momento d'inerzia per un cono omogeneo	Momento d'inerzia per un triangolo rettangolo omogeneo

Equazione del moto rotatorio

La formula

Costituisce la legge fondamentale della dinamica rotatoria:
La derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto totale di un sistema di particelle, rispetto ad un punto arbitrario è uguale al momento totale, rispetto allo stesso punto delle forze esterne agenti sul sistema.

Bisogna ricordarsi che:

Dove α è l'accelerazione angolare. La formula    è molto simile alla

Che governa il moto rotatorio per una singola particella.
Osserviamo, inoltre, che se τ=0 Jω =costante, per un corpo rigido ω =costante dato che Jω è sempre costante per un corpo rigido, (mentre è variabile nel tempo per un corpo deformabile).

Esempio: un disco di raggio 50cm e massa M=20kg può ruotare liberamente attorno all'asse Z passante per il suo centro, viene applicata una forza di 10N tirando il cavo attorno al disco. Calcolare l'accelerazione angolare del disco e la sua velocità angolare dopo 2 sec.

Le forze esterne agenti sul disco sono: il peso Mg, la forza di trazione F, le reazioni vincolari F°. Se calcoliamo i momenti rispetto al baricentro del sistema, il momento risultante delle forze reattive F° è nullo (i due momenti delle reazioni dei fulcri rispetto a C si elidono a vicenda). Il momento della forza peso Mg è nullo dato che il braccio rispetto a C è 0. L'unico momento non nullo è Sappiamo che per un disco vale la

Abbiamo detto che
Se il disco parte da fermo:   

Poi per la Ia eq.cardinale della statica:

Ciascuna reazione F°=206,2/2=103,1N

Calcola l'accelerazione angolare del disco di figura e l'accelerazione verso il basso del suo baricentro.Il disco ha massa M=20kg e raggio R=0,5m. Stavolta il disco non è libero e le forze esterne applicate per l'eq. di D'Alembert Mentre    è il momento rispetto al baricentro del disco; ricordando che:       avremo:         Cioè:

Per quanto detto nei principi della dinamica, il moto verso il basso del baricentro del disco ha accelerazione:

Energia cinetica di rotazione

Per il calcolo dell'energia cinetica di un sistema di particelle viene applicata la formula:

Nel caso di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse con velocità angolare ω, per ogni particella vale la relazione v_i= ω·R_i con R_i la distanza dell'i.esima particella dall'asse di rotazione.

Per la definizione di momento d'inerzia sarà:

Nel caso generale in cui il corpo ruota attorno ad un asse passante per il suo baricentro e simultaneamente trasla rispetto ad un osservatore l'energia cinetica rispetto ad un osservatore è:

Indicando con E_CG l'energia cinetica interna rispetto al centro di massa, mentre    è l'energia cinetica traslazionale del corpo rispetto l'osservatore. Si può dedurre:

Indicando con J_G il momento di inerzia dell'asse di rotazione passante per il baricentro del corpo in rototraslazione.
Bisogna ricordarsi, poi, che per il corpo rigido vale il principio di conservazione dell'energia:

Cioè la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è costante. Quindi:

dove h è l'altezza del centro di massa del corpo rispetto ad un piano di riferimento orizzontale.
Esempio:

Un cilindro rotola lungo un piano inclinato privo di attrito, partendo dall'altezza h. Trovare la velocità quando l'oggetto arriva alla base del piano.

Alla partenza l'energia totale dell'oggetto è

All'arrivo l'energia totale vale:      
quindi:

se il corpo scivolasse invece che rotolare sul piano, on dovremmo includere l'energia rotazionale e il risultato sarebbe:   
Il moto rotazionale comporta un rallentamento rispetto al moto traslazionale.

Equazioni Cardinali della Dinamica

Abbiamo formulato le equazioni cardinali della statica come:

R=Risultante delle forze attive agente sul sistema
R'=Risultante delle reazioni vincolari sul sistema
M=Momento delle forze attive (preso rispetto un punto arbitrario)
M'=Momento delle reazioni vincolari (preso rispetto un punto arbitrario)

In modo del tutto analogo si possono formulare le equazioni cardinali della dinamica che coincidono, poi, col principio di D'Alembert, ponendo:

cioè la risultante delle forze attive si ottiene sottraendo alle forze attive la forza d'inerzia in modo analogo si ridefinisce il momento delle forze attive :

dove r è la distanza dal polo arbitrario rispetto al quale si misura il momento:

Considerando che       e che      le equazioni cardinali della dinamica sono:

con
p=Quantità di moto totale
L=Momento della quantità di moto rispetto ad un punto arbitrario
R=Risultante delle forze attive esterne
R'=Risultante delle reazioni vincolari
v=velocità del punto arbitrario
M=Momento delle forze attive rispetto un punto arbitrario
M'=Momento delle reazioni vincolari rispetto un punto arbitrario
Se il punto arbitrario coincide col centro di massa G la seconda equazione si riduce a:

  per le considerazioni viste prima:
In tal caso la prima equazione diventa: