Momento angolare : esercizi risolti

Esercizio 1

Una particella di massa m=1 kg gira solidale ad un disco di massa M=6 kg e raggio R=1m.

Il disco ruota attorno al suo asse centrale alla velocità ω_i=1,5rad/s mentre la particella si trova inizialmente ad una distanza r=80cm dall’asse centrale. Ad un certo punto la particella si sposta sul bordo del disco, calcolare la velocità angolare finale.

[ ω_f=1,37 rad/s ]

Esercizio 2

Nel disegno si vedono dall’alto due particelle muoversi su traiettorie collocate su un piano orizzontale con quantità di moto costante.

La particella 1 con quantità di moto 6kg·m/s ha vettore posizione r₁ e transita a 3 m di distanza minima dal polo O. La particella 2 con quantità di moto 2 kg·m/s ha vettore posizione r₂ e transita a 5m di distanza minima da O.
Quale è il momento angolare netto L rispetto al polo O?

[ 8 kg·m²/s ]

Esercizio 3

Una forza F→ di modulo 2N, agisce su una particella P di massa m=2kg contraddistinta dai vettori di posizione r→(r=3m θ₁=45°) e velocità v→ (v=4m/s θ₂=30°) come si vede nel disegno.

I tre vettori giacciono nel piano xy. Quali sono ripetto all’origine il modulo e la direzione del momento angolare della particella? Il modulo e la direzione del momento torcente che agisce sulla particella?

[ L=12 kg·m²/2 | M=3 Nm ]

Esercizio 4

Due oggetti si muovono come si vede nel disegno, la particella P₁ ha massa m₁=6,5kg velocità v₁=2,2m/s e distanza d₁=1,5m.

La particella P₂ ha massa m₂=3,1kg velocità v₂=3,6m/s e d₂=2,8m. Quali sono il modulo e la direzione del loro momento angolare complessivo rispetto al punto O.

[ L=9,8 kgm²/s ]

Esercizio 5

Nel disegno si vede un proiettile di massa 1 g sparato in un blocco di massa 0,5kg fissato all’estremità di un’asta rigida lunga 0,6m.

Il sistema proiettile+blocco+asta si pone in rotazione attorno al perno O. Il momento di inerzia attorno a questo punto della sola asta vale 0,06kg·m². Si assuma che il blocco sia abbastanza piccolo da poterlo considerare una particella.
Qual’è il momento di inerzia attorno al perno?
Se la velocità angolare del sistema attorno al punto O subito dopo l’impatto è di 4,5rad/s quale era la velocità del proiettile?

[ 0,24 kgm² | 1800 m/s ]

Esercizio 6

Nel disegno si vede una massa m=0,4 kg che viene sparata verso l'alto alla velocità iniziale v_i=40 m/s. Considerando il punto P che si trova a una distanza orizzontale d=2m da P?

Quale è il momento angolare della massa rispetto al polo P quando la massa è alla massima altezza e quando la massa è a metà strada rispetto al suolo in fase di caduta?
Quale è la coppia sulla massa rispetto a P dovuta alla forza gravitazionale quando il la massa è alla massima altezza e quando la massa è a metà strada rispetto al suolo in fase di caduta?

[ 0 | -22,64 kg·m²/s | -7,81 Nm | -7,84 Nm ]

Esercizio 7

L’asta omogenea rappresentata nel disegno è lunga 0,6m e ha massa 1kg.

L’asta è imperniata a una estremità rispetto alla quale ha momento di inerzia pari a 0,12kg·m2. Mentre oscilla, la sua estremità inferiore urta una pallina di stucco di massa 0,2kg che si appiccica all’asta.
Calcolare la velocità angolare del sistema asta+pallina subito dopo l’impatto se subito prima valeva 2,4rad/s.

[ 1,5 rad/s ]

Esercizio 8

Un’asta sottile omogenea avente una massa di M=4kg e lunga 0,5m, è libera di girare intorno ad un asse verticale passante per il suo punto di mezzo.

Contro un’estremità dell’asta ferma è sparato un proiettile di massa m=3 g che viaggia orizzontalmente. Vista dall’alto come si vede nel disegno, la direzione della velocità del proiettile forma un angolo di 60°. Se il proiettile si conficca nell’asta e la velocità angolare dell’asta, subito dopo l’urto, è di 10rad/s, qual è il modulo della velocità del proiettile immediatamente prima dell’urto?

[ 1286 m/s ]

Esercizio 9

Un bambino di massa 30kg sta sul bordo di una giostra , ferma e libera di ruotare, di massa 100kg e raggio 2m. Il momento di inerzia della giostra rispetto al suo asse 150kg·m².

Il bimbo afferra al volo una palla di massa 1kg lanciata da un amico a terra, che gli giunge alla velocità con modulo 12m/s e angolo θ=37° rispetto alla tangente passante per il punto esterno della giostra dove siede il bambino . Che velocità angolare assume la giostra col bambino dopo la presa?

[ ω=0,07 rad/s ]

Esercizio 10

Due sfere di massa M=2 kg ciascuna sono attaccate agli estremi di un’asta sottile, di massa trascurabile, lunga d=50cm, libera di ruotare in un piano verticale intorno ad un’asse orizzontale passante per il suo centro. Mentre l’asta è ferma in posizione orizzontale, come appare nel disegno, un pezzo di stucco di massa m=50g cade con velocità di 3m/s su una delle sfere e vi rimane attaccato.

a) Quale è la velocità angolare dell’intero sistema subito dopo l’urto del pezzo di stucco?
b) Quale è il rapporto fra l’energia cinetica dell’intero sistema dopo l’urto e quella dello stucco subito prima?
c) Di che angolo ruoterà il sistema prima di arrivare a fermarsi?

[ 0,148 rad/s | 0,0123 | 181°]

Esercizio 11

La particella di massa m=50g che si vede nel disegno scivola giù lungo la superficie priva di attrito per una altezza h=20cm e va ad urtare l’estremità dell’asta verticale omogenea di massa M=100g e lunghezza d=40cm alla quale si attacca.

L’asta gira attorno ad O di un angolo θ , quindi si arresta. Trova θ.

[ 32° ]

Esercizio 12

Lo schema rappresenta una vista dall’alto di un’asta sottile ed uniforme lunga 0,6m e massa M che ruota su un piano orizzontale alla velocità angolare di 80rad/s in senso antiorario attorno ad un asse passante per il suo centro.

Una particella di massa M/3 che si sposta orizzontalmente a 40m/s colpisce l’asta e si attacca ad essa. La traiettoria della particella è perpendicolare all’asta nel momento dell’impatto. Trovare la distanza d se dopo la collisione l’asta si ferma e rimane in quiete.

[ 0,18 m ]

Esercizio 13

Nel disegno è rappresentata una fune avvolta attorno ad un cilindro omogeneo di massa 10kg e raggio 0,1m che gli applica una forza F di modulo 12N imprimendogli un moto volvente su un piano orizzontale.

a) Che modulo ha l’accelerazione angolare attorno al centro di massa del cilindro?
b) Quanto vale l’accelerazione del centro di massa del cilindro?
c) Trova la forza di attrito agente sul cilindro.

[ 16 rad/s² | 1,6 m/s² | 4 N ]

Esercizio 14

Una forza F→=4 ĵ N agisce su un corpo di massa 0,5kg che ha vettore posizione r→=(2 î-2k̂)m e vettore velocità v→=(-5î+5k̂)m/s. Calcolare in notazione vettoriale (coi versori) rispetto all’origine :
a) il momento angolare del corpo e
b) il momento torcente che agisce su di esso.

Esercizio 15

Un oggetto puntiforme di massa 2kg, in movimento su un piano ha velocità di componenti v_x=30m/s e v_y=60m/s quando passa per il punto (x; y)=(3; -4)m.
a) Quale è il suo momento angolare rispetto all'origine in quell’istante?
b) Quale è il suo momento angolare relativo al punto (-2; -2)m?

Esercizio 16

Tre particelle aventi ciascuna una massa m=23g, sono fissate tra loro e ad un asse di rotazione per mezzo di tre funicelle prive di massa, ciascuna di lunghezza d=12cm. Il tutto ruota intorno ad un asse di rotazione O con velocità angolare ω=0,85rad/s in modo che le tre particelle rimangano allineate.

Calcolare
a) Il momento di inerzia del sistema rispetto al polo O.
b) Il momento angolare della massa intermedia.
c) Il momento angolare dell’intero sistema rispetto al medesimo asse.

[ 4,6·10^-3 kgm² | 1,1·10^-3 kgm²/s | 3,9·10^-3 kgm²/s ]

Esercizio 17

Una particella ha massa m=3kg passa al tempo t=0 per il punto (x; y)=(3; 8)m con velocità
v→=5î-6ĵ.
Su di essa agisce una forza di 7N nella direzione opposta all’asse x
a) Qual’è il suo momento angolare rispetto all’origine?
b) Quale momento torcente agisce sulla particella rispetto all’origine?