Calcolo percentuale

     

In matematica, la nozione di percentuale è strettamente legata al concetto di proporzione, ma se qualcuno ci chiedesse cosa sia una percentuale potremmo rispondere nel seguente modo:

Una percentuale è un rapporto che ha come conseguente 100 e come antecedente un numero intero o decimale.

In altri termini si potrebbe dire che una percentuale è una frazione che ha come denominatore 100 e come numeratore un numero intero o decimale.

Per rappresentare una percentuale si scrive l’antecedente del rapporto (il numeratore della frazione) seguito dal simbolo % (per cento).

Il numeratore della frazione o l’antecedente del rapporto vengono indicati col simbolo r e chiamati tasso percentuale.

Si tratta dunque di rappresentazioni equivalenti.

In pratica è possibile indicare una percentuale in diversi modi; cioè come

Percentuale	75%
Rapporto	75:100
Frazione in centesimi	75 / 100
Frazione ridotta ai minimi termini	3 / 4
Numero decimale	0,75

Di fatto le percentuali si applicano sempre rispetto a una certa grandezza cioè descrivono una quantità rispetto a un'altra, quindi tipicamente si dice che

D'ora in poi indichiamo la parte con p e il totale con T.
Per risolvere i problemi di calcolo percentuale si può sempre applicare la seguente proporzione:

tasso:100=parte:totale

che con i simboli si scrive

oppure in forma frazionaria

In pratica, per trovare delle percentuali, occorre risolvere proporzioni in cui uno dei termini è sempre il 100.

Esempio : calcolo della parte.
S se in una scuola con 320 alunni ne sono stati promossi l'85% è evidente che il totale è T=320 mentre il tasso percentuale r=85. Per trovare l'effettivo numero degli alunni promossi, cioè la parte, scriveremo:

gli alunni promossi sono 272.

Esempio : calcolo del tasso percentuale.
Calcolare la percentuale dei promossi di una classe scolastica sapendo che dei 24 studenti iscritti solo 18 sono stati promossi.

In questo caso conosciamo il totale T=24 e la parte p=18 non ci resta che calcolare il tasso percentuale r.

dunque la percentuale dei promossi è del 75%.

Esempio : calcolo del totale
Il 40% di un numero è 20. Qual'è il numero?

In questo caso abbiamo il tasso r=40, e la parte p=20 mentre cerchiamo il totale T. Impostiamo la proporzione:

Possono esistere percentuali anche più grandi del 100%. In questo caso, la parte (percentuale) è più grande del totale.

Esempio: calcolo della parte (più grande del totale)
Calcola il 120% di 15.

In questo caso r=120 e T=15, dobbiamo trovare la p.

e si dice che il 120% di 15 è 18.

Aumento e diminuzione percentuale

     

Se una grandezza cambia valore la variazione assoluta è la differenza tra il suo valore finale e quello iniziale. La variazione percentuale è la variazione assoluta rispetto al valore iniziale.

Se una grandezza aumenta. la sua variazione è un numero positivo mentre se diminuisce la sua variazione è un numero negativo.

In questo tipo di calcolo percentuale la parte p deve essere espressa come la differenza tra la parte finale p_f e la parte iniziale p_i.

p=p_f-p_i

mentre il totale è costituito dalla parte iniziale p_i cioè T=p_i.

Esempio : Aumento di statura
Andrea era alto 115cm quando aveva 6 anni mentre oggi è alto 145cm. Di quanto è aumentata la sua statura in percentuale?

Andrea ha avuto un aumento percentuale in altezza del 26% circa.

Esempio : aumento del guadagno
Un venditore ha guadagnato il mese scorso 1500€. Questo mese ha guadagnato il 20% in più. Quanto ha guadagnato questo mese?

Si ha un aumento percentuale dunque r=20 è positivo. Il dato iniziale è noto come p_i=1500 il dato finale è invece incognito p_f=?

che coincide col calcolare il 20% del valore iniziale e di sommarlo al valore iniziale p_i.
Comunque, questo mese, il venditore ha guadagnato 1800€.

Esempio : applicazione dell'IVA
Un tipico esempio di aumento percentuale è dato dall'applicazione dell'IVA che attualmente è del 22%.
Supponiamo di voler comprare una asciugatrice che costa 312€+IVA. Quale sarà il prezzo finale?

In questo caso r=22 positivo, mentre p_i=312 con p_f=? Come nel caso precedente:

che coincide col calcolare il 22% del valore iniziale e di sommarlo al valore iniziale p_i.

Esempio : scorporo dell'IVA
Si tratta del problema opposto dell'applicazione dell'IVA.
Supponiamo di aver comprato un forno a microonde del prezzo di 280€. Quanto è il suo costo IVA esclusa?

In questo caso p_f=280 mentre p_i=?

Esempio : diminuzione del prezzo
Un telefonino è stato pagato 126€ mentre appena uscito costava 180€. Di quanto è diminuito il suo prezzo in percentuale?

Anche in questo caso cerchiamo il tasso percentuale r. sapendo che p_i=180 e p_f=126.

Il prezzo è diminuito del 30% .

Ovviamente in questa tipologia di problemi l'incognita può essere il valore finale p_f o il valore iniziale p_i della parte.

Esempio : diminuzione del peso
Una volpe, durante il letargo, perde il 25% del suo peso se all'inizio pesava 14kg quanto pesa alla fine del letargo?

Qui avremo r=-25 perchè si ha una diminuzione del valore iniziale, poi abbiamo p_i=14 mentre p_f=?

alla fine del letargo la volpe peserà 10,5 kg.

Esempio : sconto
Un tipico esempio di diminuzione percentuale è lo sconto. Un commerciante ha abbassato il prezzo di un certo articolo del 15% determinare il prezzo originario di quell'articolo sapendo che l'attuale prezzo di vendita è di 102€.

Qui avremo r=-15 con p_f=103 mentre p_i=?

Il prezzo originario dell'articolo era di 120€.

Ricarico

     

Il ricarico nella terminologia economica restituisce il tasso percentuale di una grandezza che aumenta il suo valore, calcolato rispetto al suo valore iniziale p_i. Esso è definito come:

   Ricarico

il tipico esempio di ricarico è dato dall'applicazione dell'IVA dove r=22 cioè si ha un ricarico del 22%.

Ad esempio un ricarico su un bene che costa 40€ e che viene venduto a 50€.

Margine

     

Il margine nella terminologia finanziaria restituisce il tasso percentuale di una grandezza che aumenta il suo valore, calcolato rispetto al suo valore finale p_f. Esso è definito come:

   Margine

ad esempio un margine su un bene che costa 40€ e che viene venduto a 50€.