Numeri complessi

        

La radice quadrata di un numero negativo, ad es.

viene chiamato numero immaginario. Dalle proprietà dei radicali, sappiamo che

viene, quindi, introdotto l'operatore immaginario

              dotato della proprietà           

Per l'operatore immaginario, in matematica si usa il postfisso ( o anche prefisso ) i , mentre in elettrotecnica è più frequente trovare il prefisso j , ovviamente, perchè il simbolo i verrebbe confuso col simbolo della corrente elettrica.
Un numero nella forma

con a e b numeri reali, viene chiamato numero complesso con
a=parte reale;
b=parte immaginaria ;
I numeri complessi contengono tutti i numeri reali e tutti i numeri immaginari perchè 7=7+0i e 4i=0+4i.
Due numeri complessi a+bi e c+di sono uguali solo se a=c e b=d.
Il coniugato di un numero complesso a+bi è il numero complesso a-bi; cioè è lo stesso numero dato, con la parte immaginaria invertita di segno.

Operazioni aritmetiche coi numeri complessi

    

Addizione : per sommare due numeri complessi si fa la somma delle parti reali e delle parti immaginarie.
Ad es.

Sottrazione : per sottrarre due numeri complessi si fa la differenza delle parti reali e delle parti immaginarie.Ad es.

Moltiplicazione : per moltiplicare due numeri complessi si effettua il prodotto come se i due numeri fossero dei semplici binomi, sostituendo poi i² con -1.

Divisione : per dividere due numeri complessi si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per il coniugato del denominatore.

Rappresentazione grafica di numeri complessi

    

Il numero complesso a+bi può essere rappresentato da un punto P con coordinate ( a,b ). Il punto O che ha coordinate ( 0, 0 ) e che rappresenta il numero complesso 0+0i=0.
Tutti i punti dell'asse orizzontale, delle ascisse, rappresentano i numeri reali.
Tutti i punti dell'asse verticale, delle ordinate, rappresentano i numeri immaginari.
Per questa ragione l'asse orizzontale viene chiamato asse reale.
L'asse verticale viene chiamato asse immaginario.
Il piano cartesiano che ha queste caratteristiche viene chiamato piano complesso o piano di Gauss.

Sul piano complesso, oltre che dal punto P, un numero complesso può essere rappresentato dal vettore OP.

Trattandosi di vettori, per i numeri complessi l'operazione di somma e differenza può essere eseguita anche graficamente, tramite la regola del parallelogramma o attraverso il metodo punta-coda, già visto nel caso dei vettori.
Una resa grafica delle quattro operazioni aritmetiche sui numeri complessi è disponibile per chi ha
( ancora ) un browser java-enabled in questa pagina.

Forma polare di numeri complessi

    

Oltre alla forma algebrica o binomiale appena vista, i numeri complessi possono essere rappresentati attraverso la forma polare.
In pratica, invece di usare le due coordinate cartesiane a e b, si usano le due coordinate polari ρ e θ. ρ=modulo o intensità del vettore; cioè ( graficamente ) la sua lunghezza.
θ=argomento ( o fase ) cioè l'angolo che il vettore forma con l'asse reale.

Dopo aver specificato che gli argomenti sono positivi se si svolgono in senso antiorario rispetto l'asse reale, dalla trigonometria si ha:

La forma polare di un numero complesso è dunque   $ρe^{jθ}$  con
e=numero di Neper=2,2718.. in pratica la relazione fra forma polare e forma binomiale è

se ρ=1 e θ=π la precedente formula diventa    

 $e^{jπ}+1=0$    nota come la formula di Eulero.

L'importanza della formula di Eulero sta nel fatto che essa stabilisce, tramite i numeri complessi, la stretta relazione che esiste tra la funzione esponenziale e le funzioni trigonometriche.

La forma polare è particolarmente vantaggiosa quando si devono eseguire moltiplicazioni e divisioni fra numeri complessi.