Matrici

        

La tabella di n×m numeri, ( con n,m>1) come la seguente

viene chiamata matrice di n righe e di m colonne o matrice n×m.
Ogni elemento è individuato da una coppia di pedici: il primo indica la riga il secondo la colonna.
Così con a₂₁ si indica l'elemento che occupa la seconda riga e la prima colonna.
Una generica matrice può essere indicata come

    con j=1,2,..n e k=1,2,..m

Due matrici    e      con j=1,2,..n e k=1,2,..m sono uguali se    

Se n=m la matrice si dice quadrata di ordine n.
Se n≠m si dice rettangolare.
In una matrice quadrata di ordine n gli elementi coi pedici uguali :a₁₁, a₂₂…,a_nn formano la diagonale principale. Gli elementi a_1n,a_2(n-1),.. a_n1 costituiscono la diagonale secondaria.

Le matrici più importanti sono:

matrice nulla

                             La matrice può essere di qualsiasi ordine

matrice unitaria

Matrice diagonale:

è una matrice quadrata di ordine n con tutti gli elementi nulli tranne quelli della diagonale principale.

Matrice 1×m

è una matrice con una sola riga, viene anche chiamata vettore-riga.

Matrice n×1

Matrice trasposta

Se abbiamo una matrice A e in essa si scambiano ordinatamente le righe con le colonne si ottiene una nuova matrice detta trasposta di A e si indica A^T.

   con       con j=1,2,..n e k=1,2,..m

Se A è una matrice n×m, la trasposta A^T è una matrice m×n.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata A è simmetrica se coincide con la sua trasposta cioè se ogni riga coincide con la colonna di ugual pedice.

Operazioni sulle matrici

        

E' possibile stabilire un'algebra per insieme delle matrici, come nel caso degli insiemi numerici,

Se   e   sono due matrici n×m la somma di A e B:

      con j=1,2,..n e k=1,2,..m

L'addizione delle matrici A e B è possibile solo se hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.

L'addizione fra matrici gode delle proprietà commutativa

e della proprietà associativa  

Prodotto di una matrice per uno scalare

     

Se è una matrice n×m e h è un numero reale, per prodotto di h per A si intende la matrice n×m data da:  .  Ad esempio

per l''insieme delle matrici valgono le seguenti identità

1  Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione fra numeri reali

2  Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione fra matrici n×m

3   

4   

5   

Prodotto di matrici

     

Se è una matrice n×r e è una matrice r×m si definisce il prodotto delle matrici A e B la matrice n×m

In base alla definizione:
A ] La moltiplicazione di due matrici A e B è possibile solo se il numero delle colonne di A è eguale al numero delle righe di B.
B ] La matrice, il prodotto di due matrici A e B, ha tante righe quante sono quelle di A e tante colonne quante sono quelle di B
C ] Posto l'elemento c_jh è è il prodotto scalare della j-esima riga di A per la h-esima colonna di B, dunque, il prodotto di due matrici si calcola righe per colonne .

Esempio: calcolare il prodotto delle due matrici

La moltiplicazione è possibile in quanto la prima matrice è 2×3 e la seconda una 3×4, per cui il numero delle colonne di A è uguale a quello delle righe di B.

Posto   si avrebbe

Risulta    

Sempre in base alla definizione, si intuisce come se A è moltiplicabile per B non è detto che B sia moltiplicabile per A; cioè B·A potrebbe essere priva di significato, questo accade se il numero di colonne di B non è uguale al numero di righe di A . Nel caso di matrici quadrate esistono sia i prodotti AB che BA ma in generale non vale la proprietà commutativa; cioè

Matrici quadrate

         

Se consideriamo solo l'insieme delle matrici quadrate, notiamo come le operazioni di addizione e sottrazione hanno le stesse caratteristiche delle stesse operazioni fra dei numeri reali, mentre per il prodotto c'è qualche limitazione come abbiamo visto, anche se rimangono valide la proprietà associativa e la proprietà distributiva rispetto all'addizione. Bisogna inoltre ricordare le matrici divisori dello zero. Notiamo come

cioè pur non essendo nulle (ne A ne B) il loro prodotto è una matrice nulla; questa caratteristica è nota come legge dell'annullamento del prodotto, e le matrici A e B si dicono divisori dello zero.

Determinante

         

Ad ogni matrice quadrata A è possibile associare un numero reale chiamato determinante della matrice, normalmente indicato det(A). Per il suo calcolo bisogna solitamente passare attraverso la definizione di minore complementare dell'elemento a_jk della matrice A di ordine n che è il determinante della matrice di ordine (n-1) ottenuta da A sopprimendo la j-esima riga e la k-esima colonna. Se indichiamo con M_jk il minore complementare di a_jk si può definire il complemento algebrico ( o cofattore ) di a_jk il numero A_jk:

cioè A_jk coincide con M_jk oppure col suo opposto a secondo che la somma j+k sia pari o dispari.

Si definisce determinante di una matrice quadrata A di ordine n>1 il numero reale

cioè, la sommatoria degli n elementi della prima riga moltiplicati per i rispettivi complementi algebrici.

se, invece, n=1 si ha A=|a|=det(A).

Determinante di ordine 2

       con               

cioè il determinante di una matrice quadrata di ordine n=2 si ottiene sottraendo al prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Determinante di ordine 3

              si ha          

in definitiva

La regola di Sarrus

E' una comoda regola mnemonica che permette di ricordarsi schematicamente la formula risolutiva del determinante di una matrice di ordine 3 ( e solo di ordine 3 ) consiste nell'accostare a destra della matrice le prime due colonne della matrice stessa.

Proprietà dei determinanti

1 Il calcolo di un determinante può essere eseguito rispetto ad una linea ( riga o colonna ) qualsiasi.

secondo una riga i scelta arbitrariamente        

secondo una colonna j scelta arbitrariamente

2 Cambiando ordinatamente le righe con le colonne e le colonne con le righe il determinante non cambia.
3 Se gli elementi di una linea (riga o colonna) sono nulli, il determinante è nullo.
4 Se si cambiano di posizione due linee parallele il determinante cambia di segno.
5 Se due linee parallele sono proporzionali (o uguali) il determinante è nullo.
6 La somma algebrica dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici di una linea parallela è uguale a zero.
7 Se si moltiplicano gli elemnti di una linea per k, il determinante viene moltiplicato per k.
8 Se gli elementi di una linea sono polinomi di h termini, il determinante è uguale alla somma di h determinanti che si ottengono sostituendo nel determinante dato a ciascun polinomio il suo primo, secondo,..h-esimo termine che è come dire

9 Il valore di un determinante non cambia se ad una linea viene addizionata una combinazione lineare di una o più linee parallele.

Matrice inversa

         

Nel caso dei numeri reali la nozione di inverso di un numero è molto semplice; se n≠0 allora 1/n è il suo inverso. Formalmente una matrice inversa può essere definita nel modo seguente.

Una matrice quadrata A di ordine n è invertibile se esiste una matrice A^-1 per la quale

Se la matrice A^-1 esiste viene chiamata matrice inversa di A.

Per l'elemento neutro I_n non ci sono problemi; si verifica facilmente

                             ogni matrice I_n ammette come inversa se stessa.

Ogni matrice diagonale è invertibile; è facile verificare che

      ammette come inversa       

ad esempio se

La matrice cofattore A^c associata ad una matrice quadrata A si ottiene sostituendo ogni elemento di quest'ultima col suo cofattore ( complemento algebrico ). Se det(A)≠0 allora

Matrici e vettori

       

Sul piano cartesiano consideriamo i due vettori,  con

se le loro componenti sono proporzionali i due vettori sono sicuramente paralleli ( e collineari)

quindi due vettori sono paralleli se il determinante della matrice composta dalle loro componenti è nullo.

     

     

Matrici ed equazione della retta

       

Ipotizziamo una retta r definita dal passaggio passante fra i due punti S(x₁,y₁) e T(x₂,y₂) il vettore v rappresentativo il segmento ST ha come componenti

il vettore p rappresentativo il segmento SP ha come componenti            

dopo aver effettuato una opportuna trasformazione per far coincidere il punto di applicazione dei due vettori con l'origine degli assi, si vede come questi due vettori debbano essere paralleli affinché il punto P debba appartenere alla retta r.

                                                       infatti

Rango di una matrice

       

Consideriamo la generica matrice di n righe ed m colonne per ipotesi con n≤m

Da questa matrice possiamo scegliere arbitrariamente k righe e k colonne con k≤n≤m ottenendo una sottomatrice quadrata di ordine k il cui determinante si chiama minore di ordine k .

La caratteristica o rango di una matrice A n×m, è l'ordine massimo dei suoi minori non tutti nulli.

Il calcolo del rango di una matrice è semplificato dal teorema di Kronecker:

Affinché una matrice abbia caratteristica q è che vi sia in essa una matrice A_q di ordine q che ha determinante non nullo e che ogni altra sottomatrice di ordine q+1 che contenga A_q abbia determinante nullo.

Ad es.

La matrice è 3×4 quindi il rango può essere al massimo Rk=3; q≥1 in quanto non tutti gli elementi della matrice sono nulli.
Una sottomatrice di ordine 2 con determinante non nullo estratta dalla matrice A sarebbe:

      quindi q≥2

Le possibili sottomatrici che contengono B sono:

      ambedue con determinante non nullo; quindi Rk(A)=q=3

---

Ad.es.

La matrice è 3×5 quindi il rango può essere al massimo Rk=3 q≥1 in quanto non tutti gli elementi della matrice sono nulli.
Una sottomatrice di ordine 2 con determinante non nullo estratta dalla matrice A

    quindi q≥2 .

Le possibili sottomatrici che contengono B sono

   tutte con determinante nullo

pertanto Rk(A)=q=2.

---

Ad.es.

La matrice è 3×4 quindi il rango può essere al massimo Rk=3 q≥1 in quanto non tutti gli elementi della matrice sono nulli.

Notiamo come ciascuna riga sia una combinazione lineare delle altre due; qualsiasi sottomatrice 3×3 o 2×2 deve necessariamente avere determinante nullo in conseguenza della proprietà V) del determinante: se due linee parallele sono proporzionali (o uguali) il determinante è nullo consegue che

Rk(A)=q=1.

Oltre al metodo dei minori, può essere applicato in alternativa il metodo ad eleminazione gaussiana come riportato sotto: