Logaritmi

         

Per quanto visto, le funzioni esponenziali, sono risolvibili soltanto se possono essere ricondotte alla loro forma normale

in caso contrario, si può procedere solo per via grafica; prendiamo infatti la generica equazione esponenziale

con a > 0 ed a ≠ 1. Se vogliamo ottenere il valore di x, si hanno solo due casi :

In questo caso la soluzione è unica e viene chiamata logaritmo in base a di b.

perchè log_ab è l'esponente da attribuire alla base a per ottenere b.

a viene chiamata la base del logaritmo e b è detto argomento del logaritmo.
Quindi se a > 0 , a ≠ 1 e b > 0, si ha

Definizione di logaritmo:
Il logaritmo in base a del numero b è l'esponente da attribuire alla base a per ottenere una potenza uguale all'argomento b.

Dalla descrizione fatta si deduce che non esiste il logaritmo di un numero negativo. inoltre se a > 0 , a ≠ 1 e b > 0, si ha:

Poi si può affermare che:    

infatti l'esponente da attribuire ad a per ottenere a^c è il numero c. Da quest'ultima proprietà e dall'uguaglianza a⁰ = 1, deriva che qualunque sia il numero a ≠ 1 si ha:

    a > 0, a ≠ 1

dato poi che a¹=a

    a > 0, a ≠ 1

Possiamo dire che qualunque sia la base, purché positiva e diversa da 1, il logaritmo di 1 è uguale a zero e il logaritmo della base è uguale a 1.

Logaritmi naturali e logaritmi decimali

     

Sulla calcolatrice elettronica, appaiono usualmente due tasti dedicati ai logaritmi.
Uno è indicato con log e l'altro indicato con ln .
Il tasto log si riferisce ai logaritmi in base 10 anche chiamati logaritmi decimali.
Il tasto il tasto ln si riferisce ai logaritmi in base e = 2,71828 numero di Neper, per questo chiamati logaritmi neperiani; in pratica per avendo per argomento il numero b, si sottintende

Proprietà dei logaritmi

     

Riportiamo di seguito (senza dimostrarle) le principali proprietà dei logaritmi con le condizioni a ∈ R⁺ , a ≠ 1 , m ∈ R⁺ , n ∈ R⁺ .

1) Il logaritmo di due o più numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori

2) Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra del logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.

       notiamo come sia

    dunque      

3) Il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero.

      con la specifica m ∈ R , b ∈ R⁺.

4) Il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto del reciproco dell'indice del radicale per il logaritmo del radicando.

       qui b ∈ N₀.

Cambiamento di base nei logaritmi

     

Se nella calcolatrice appaiono solo logaritmi in base 10 o in base e = numero di Nepero, vuol dire solo che questi sono i logaritmi che vengono calcolati con maggiore frequenza, ciò non toglie che ci possa essere l'esigenza di calcolare logaritmi di base qualsiasi, ad esempio log₃7. In tal caso è necessario usare la seguente formula:

       rispettando le condizioni a > 0 , a ≠1 , b > 0 , c > 0, c ≠ 1.

Se in questa formula si pone c=b:

         ma lg_bb=1 , di conseguenza    

scambiando tra loro la base e l'argomento di un logaritmo, si ottiene il reciproco del logaritmo assegnato.

Funzione logaritmica

        

Abbiamo visto che se il numero a è positivo ed è diverso da 1, ad ogni numero reale positivo b corrisponde il numero reale log_ab.
Inoltre si è visto che l'equazione y=a^x è una funzione biunivoca tra R ed R⁺. e sarà possibile (sotto precise condizioni) invertirla nella forma x=log_ay.  Questo è sufficiente per fornire la definizione della funzione logaritmica.

Se a > 0 ed a ≠ 1 la funzione di R⁺ in R

è chiamata funzione logaritmica di base a. Qui di seguito è riportato il grafico della funzione logaritmica, dove si nota l'analogia con la funzione esponenziale.

      

Il comportamento della funzione y=log_ax in un intorno del punto di attraversamento dell'asse delle ascisse, al variare della base a per valori inferiori o superiori a 1 è descritto dal seguente modulo.

Equazioni esponenziali risolvibili coi logaritmi

   

Coi logaritmi è possibile risolvere anche le equazioni esponenziali. Ipotizzando di avere un'equazione del tipo

dove la variabile x appare solo come esponente, è possibile risolverla applicando la proprietà

     ad esempio

i logaritmi possono essere usati anche per risolvere le disequazioni esponenziali; consideriamo la disequazione

dove f(x) e g(x) rappresentano prodoti e quozienti di termi positivi, nei quali l'incognita appare solo all'esponente di qualcuno di essi.
Con questi presupposti risulta f(x) > 0 e g(x) > 0; possono allora essere definiti i due logaritmi

sapendo che se a >1 la funzione logaritmica è crescente mentre se 0 < a < 1 la funzione è decrescente si possono usare i seguenti passaggi

prendendo i logaritmi di entrambi i membri di una disequazione, il senso del simbolo di diseguaglianza va conservato se la base dei logaritmi è maggiore di 1, mentre va cambiato se la base (positiva) dei logaritmi è minore di 1.

Equazioni logaritmiche

      

Le equazioni logaritmiche sono quelle equazioni in cui l'incognita appare nell'argomento di uno o più logaritmi.

In questo caso dobbiamo tener presente che gli argomenti di tutti i logaritmi che ci sono nell'equazione devono essere positivi. Bisogna quindi valutare le condizioni di accettabilità (o condizioni di esistenza C.E.) delle soluzioni trovate: in corrispondenza di esse nessuno degli argomenti dei logaritmi che appaiono nell'equazione devono essere negativi. In genere si cerca sempre di raggiungere il passaggio algebrico:

oppure se il logaritmo appare soltanto in uno dei due membri si applica il passaggio:

ad esempio      

la condizione di esistenza che deve essere assicurata è   

si nota che è dunque   è una soluzione accettabile.

Disequazioni logaritmiche

      

Le disequazioni logaritmiche sono quelle disequazioni in cui l'incognita compare come argomento di qualche logaritmo.

Si tratta sempre di raggiungere la forma canonica

poi si dovrà distinguere

Cioè bisogna ricordarsi che nella disequazione logaritmica, passando agli argomenti, il verso del simbolo della diseguaglianza rimane inalterato se la base a > 1, mentre il verso deve cambiare se risulta essere a < 1.

Ad esempio può essere scritta in base alla regola

la base del logaritmo è 2 > 1 dunque è possibile fare il passaggio

inoltre si deve considerare la condizione di esistenza del logaritmo; cioè il suo argomento deve essere positivo : x > 0 ; la risposta sarà dunque