Proporzioni

Definizione: la proporzione è una uguaglianza di rapporti tra grandezze, a due a due omogenee, o fra misure di grandezze.

Grandezze proporzionali:
Quattro grandezze A, B, C, D nell'ordine, si dicono proporzionali se A e B sono fra loro omogenee e se lo sono anche C e D, e se A : B = C : D, cioè se il rapporto fra le grandezze A e B è uguale al rapporto fra C e D.

La proporzionalità fra quattro grandezze implica la proporzionalità fra le loro misure.
Unicità del quarto proporzionale Se A : B = C : D e se A : B = C : D' allora D = D'

Proporzionalità diretta Due classi di grandezze X e Y si dicono fra loro direttamente proporzionali se esiste una costante k, non nulla, tale che, per ogni x e y appartenenti a X e Y,
y = k·x.

In una proporzione A : B = C : D i termini A e C si chiamano antecedenti, i termini B e D conseguenti; A e D si dicono estremi, B e C medi.

Proprietà delle proporzioni

Proprietà fondamentale delle proporzioni:
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi Da A : B = C : D segue A D = B C

Proprietà dell' invertire: da A : B = C : D segue B : A = D : C

Proprietà del permutare i medi:da A : B = C : D segue A : C = B : D

Proprietà del permutare gli estremi: da A : B = C : D segue D : B = C : A

Proprietà del comporre: da A : B = C : D segue (A + B) : B = (C + D) : D
oppure (A + B) : A = (C + D) : C

Proprietà dello scomporre: da A : B = C : D segue (A - B) : B = (C - D) : D (con A>B)
oppure (A - B) : A = (C - D) : C

Proprietà del comporre e dello scomporre:

da A : B = C : D
segue (A + B) : (A - B) = (C + D) : (C - D) (con A>B)