Equazioni differenziali ordinarie
Supponiamo di voler individuare l'insieme delle curve y=f(x) rappresentabili sul piano cartesiano che abbiano, in ogni loro punto, la pendenza (derivata prima) uguale al doppio del prodotto delle loro coordinate cartesiane in quel punto.
Per la definizione di derivata, il problema può essere risolto dalla relazione
Nell'ultima formula sono presenti contemporaneamente la funzione y(x),
la sua derivata prima e la variabile indipendente x.
Le equazioni del tipo rappresentato, vengono chiamate equazioni
differenziali, esse sono classificate come equazioni
funzionali la loro soluzione implica la ricerca di una o più funzioni
che soddisfino l'equazione assegnata.
Nel nostro caso specifico, si può verificare che la famiglia di funzioni
soddisfa
l'equazione assegnata, infatti:
sostituendo 
bisogna evidenziare che;
La soluzione dell' equazione differenziale assegnata è una famiglia di
infinite funzioni (una per ogni valore di C).
Assegnate le coordinate di un punto P(1,1) si individua la specifica curva
della famiglia di funzioni soluzione che passa per P.
quest'ultima viene chiamata soluzione particolare
(integrale particolare) mentre la viene
chiamata soluzione generale (integrale
generale) dell'equazione differenziale assegnata.
Ricapitolando, se y=y(x) e fra le sue prime n derivate c'è una relazione
questa viene chiamata equazione differenziale ordinaria di ordine n.
Ogni equazione y=y(x) che soddisfa l'equazione suddetta viene chiamata
integrale particolare dell'equazione
differenziale , l'insieme delle funzioni che soddisfano l'equazione viene
chiamato integrale generale e la ricerca
di questo integrale prende il nome di integrazione
dell'equazione differenziale.
Equazioni differenziali del primo ordine
Sono equazioni del tipo
I casi più semplici sono i seguenti:
Equazioni a variabili separabili
Sono quelle riducibili al tipo 
separando, quindi le variabili: 
integrando
ad
esempio
Equazione lineare
moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per 
si
osserva che
quindi
integrando
si
ha l'integrale generale
ad
esempio, integriamo la funzione
l'integrale generale è: 
essendo
Equazioni omogenee
poniamo 
deriviamo
rispetto ad x
sostituendo
nell'equazione
risolvendo
rispetto ad z'
quest'ultima è una equazione differenziale a variabili separabili; integrandola
ad
esempio integriamo la seguente equazione differenziale
dividiamo
entrambi i membri per xy
ponendo 
separando le variabili 
Equazioni differenziali del secondo ordine
Sono equazioni del tipo
un caso può essere 
Con due successive integrazioni, si ha l'integrale dell'equazione differenziale.
Oppure si può aere 
si procede per sostituzione, ponendo 
e
di conseguenza 
l'equazione
diventa
che è una equazione lineare. Ad esempio, integriamo la seguente equazione differenziale
dopo
aver posto
e si
ha
l'integrale
generale è
Equazione lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti
Va premesso che se l'equazione ammette gli integrali particolari y1 ed y2, ammette come integrale generale una qualsiasi combinazione lineare C1y1+C2y2. Infatti
e i due termini fra parentesi per ipotesi fatta sono nulli.
Poniamo 
quindi
dato che 
quest'ultima viene chiamata equazione caratteristica dell'equazione differenziale assegnata.
Se l'equazione caratteristica ammette due radici reali α1 ed α2 si ha che eα1x ed eα2x sono integrali particolari dell'equazione assegnata, quindi la combinazione lineare
è integrale generale dell'equazione differenziale assegnata.
Se l'equazione caratteristica ammette una radice
doppia 
oltre
all'integrale particolare
si ha anche l'integrale particolare 
e
il suo integrale generale potrà scriversi
Infine se l'equazione caratteristica ha radici complesse coniugate
si hanno i due integrali particolari
tenendo conto delle formule di Eulero
l'integrale generale, può quindi, essere scritto come
con γ1 e γ2 costanti arbitrarie; avremo allora
ponendo 
e 
si
ha l'integrale generale
Esempio 1
ha
equazione caratteristica 
che ammette radici reali 
ha
dunque integrale generale
Esempio 2
ha
equazione caratteristica 
essa ha radice doppia α=3 ha dunque integrale generale:
Esempio 3
ha
equazione caratteristica 
le radici sono complesse coniugate 
essa ha, dunque, integrale generale
Equazione lineare non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti
Consideriamo una equazione differenziale del tipo
con p e q costanti note e y1(x) un suo integrale particolare, si può verificare che se yo(x) è l'integrale generale della
l'integrale generale della
può essere espresso come
Sono disponibili i seguenti metodi abbreviati:
Se f(x) è un polinomio di grado n nella variabile
x , y1(x) sarà un polinomio ( anch'esso ) di grado non
superiore ad n+2.
Per la precisione y1(x) sarà di grado 
Esempio
Risolvere 
è n=1 p=2 e q=0: l'integrale particolare sarà di grado n+1=2 cioè un polinomio di secondo grado del tipo
quindi
dovrà
essere 
mentre l'integrale generale dell'equazione omogenea associata 
l'equazione caratteristica è 
quindi l'integrale generale dell'equazione non omogenea assegnata:
con 
Se f(x) è una funzione esponenziale
del tipo 
l'integrale particolare è del tipo
se
k non coincide con nessuna delle due radici dell'eq.caratteristica associata.
se
k coincide con una delle due radici dell'eq.caratteristica associata.
se
k coincide con la radice doppia dell'eq.caratteristica associata.
con il coefficiente a da determinare opportunamente.
Esempio
Risolvere 
che
ha l'equazione omogenea associata
L'integrale generale di quest'ultima è: 
Come abbiamo detto l'integrale particolare sarà del tipo 
L'integrale generale dell'eq.diff.le non omogenea sarà dunque: 
Se f(x) è una funzione goniometrica
del tipo 
un integrale particolare è 
Esempio
Risolvere 
L'integrale particolare sarà del tipo 
(k=1)
.
Se esso deve soddisfare l'eq.diff.assegnata considerando che
si
ha 
deve
essere
L'integrale generale dell'eq. non omogenea è:
