Idrodinamica

In un liquido in movimento, si riconoscono due tipi fondamentali di moto. Se il flusso è regolare, in modo tale che strati contigui (adiacenti) di liquido scivolino uno sull'altro si dice che si ha un moto laminare .

Nel moto laminare, ogni particella di liquido segue una traiettoria regolare chiamata linea di flusso che non incrocia mai le linee di flusso di altre particelle; la velocità della particella è sempre tangente alla linea di flusso.

Al di sopra di una certa velocità, il moto del liquido diventa turbolento.
Il moto turbolento, manifesta percorsi circolari e vorticosi chiamati correnti a mulinello che assorbono molta energia per l'attrito interno fra le particelle.
Si ha moto stazionario, quando la velocità del liquido è costante in ogni punto dello spazio (occupato dal liquido).

Numero di Reynolds

Il parametro che distingue il moto laminare dal moto turbolento è il

numero di Reynolds

Il numero di Reynolds è adimensionale mentre della viscosità si sono già viste alcune definizioni.
Per i liquidi in moto dentro le tubazioni, convenzionalmente è:

R_e≤2000 :regime laminare
2000<R_e<4000 : regime critico
R_e≥4000 :regime turbolento

Portata

Se pensiamo ad un liquido in una conduttura, che si muove con moto laminare e stazionario, possiamo definirne la portata come il rapporto tra il volume ΔV di liquido che, nell'intervallo di tempo, attraversa una sezione trasversale della conduttura nell'intervallo Δt stesso.

[ m³/sec ]

per contro, la corrente di un liquido si dice stazionaria quando la sua portata, attraverso qualunque sezione della conduttura è costante nel tempo.

Equazione di continuità

Per le condotte interessate da correnti stazionarie vale la relazione

S=sezione della conduttura
v= velocità del fluido

E' facile verificare questa relazione; basta pensare ad un volume ΔV di liquido in moto a velocità costante v, lungo una condotta, bisogna ricordarsi che dimensionalmente la velocità è v=Δx/Δt.

d₁ [m]

v₁ [m/s]

d₂ [m]

v₂ [m/s]

Per due sezioni della conduttura S₁ ed S₂ dove il fluido si muove rispettivamente con velocità v₁ e v₂ vale l'equazione di continuità:

Abbiamo esperienza diretta di questa equazione, quando, annaffiando il prato, usiamo mettere il dito davanti all'imboccatura della canna dell'acqua per aumentare la velocità e la gittata del getto.
L'equazione di continuità può essere espressa anche tramite i diametri

Equazione di Bernoulli

Se :
1) il fluido è incomprimibile
2) la corrente è stazionaria (regime permanente)
3) gli attriti sono trascurabili

si può applicare l'equazione di Bernoulli

p=pressione
v=velocità
ρ=densità
g=accelerazione di gravità

Se prendiamo una condotta generica percorsa da un fluido che soddisfa le caratteristiche a cui abbiamo accennato, il fluido nelle diverse sezioni, possiede
• Energia di pressione.
• Energia cinetica.
• Energia potenziale.

Energia di pressione

per la legge di Stevin

Energia di pressione per unità di massa

Energia di pressione per unità di (forza) peso

Energia cinetica Energia cinetica per unità di massa

Energia cinetica per unità di peso

Energia potenziale Energia potenziale per unità di massa

Energia potenziale per unità di peso

ma nell'equazione di Bernoulli convenzionalmente si usa la lettera z non la lettera h.

Come l'equazione di continuità, l'equazione di Bernoulli ha le caratteristiche di una legge di conservazione, per cui tra due sezioni S₁ ed S₂ del condotto che hanno altezze z₁ e z₂ rispetto ad un livello di riferimento convenzionale; deve valere il principio di conservazione dell'energia E₁+K₁+U₁=E₂+K₂+U₂ , quindi

Principio di Bernoulli: in un condotto percorso da un liquido perfetto in moto permanente, la somma delle energie di pressione, cinetica e potenziale resta costante in tutte le sezioni del condotto stesso.

Se chiamiamo H l'energia totale per unità di peso , fra le diverse forme di energia esiste la relazione

Se nell'equazione di Bernoulli portiamo tutti i termini al primo membro

Se pensiamo ad un elemento Q, anche molto piccolo all'interno di un liquido, rivestono una certa importanza le due altezze:

= altezza piezometrica

z=altezza geodetica

Se decidiamo di chiamare il termine quota piezometrica

Sapendo che

e che la velocita:
• diminuisce se il condotto è divergente
• aumenta se il condotto e convergente
• resta invariata se la sezione del condotto rimane costante

si deduce che la quota piezometrica

• aumenta se il condotto è divergente
• diminuisce se il condotto e convergente
• resta invariata se la sezione del condotto rimane costante

Questo ci permette di tracciare la linea piezometrica per un assegnato condotto.

Dal disegno, la linea dell'energia totale appare costante come somma delle tre energie specificate, questo è vero in condizioni di moto stazionario ideale , ma nella realtà questa linea sarebbe progressivamente decrescente a causa della presenza delle perdite di carico.
(N.B.: nel disegno è inserito un tubo di Pitot per le sezioni 1 e 3 mentre è inserito un tubo piezometrico semplice nella sezione 2)
La linea piezometrica, cioè la linea che unisce tutte le quote piezometriche scende progressivamente, dato che la sezione della condotta si restringe e la velocità aumenta.

In presenza di macchine operatrici (pompe, compressori) o motrici (turbine) la relazione di Bernoulli deve essere opportunamente modificata in:

H₁=energia totale del liquido che entra nella sezione 1
w=energia equivalente al lavoro scambiato tra macchina e liquido
y=perdita di carico dovuta a dissipazione di energia
H₂=energia totale del liquido che esce dalla sezione 2
Tutti questi termini rapresentano simultaneamente delle energie specifiche ( o carichi ) e delle altezze, misurate in metri di colonna d'acqua.

w è positivo se si tratta di un lavoro fatto da una macchina operatrice che fornisce energia cinetica al fluido.
w è negativo se si tratta di un lavoro fatto da una macchina motrice che utilizza l'energia cinetica del fluido.

p₁	v₁ [m/s]	z₁ [m]
p₂	v₂ [m/s]	z₂ [m]
ρ [kg/m³]

Teorema di Torricelli

Una applicazione classica del principio di Bernoulli è quella che consiste nel calcolare la velocità di efflusso di un fluido da un rubinetto di un serbatoio.

A livello 2 e a livello 1 le pressioni sono uguali e pari alla pressione atmosferica.

Se la sezione del rubinetto è trascurabile rispetto a quella del serbatoio si può ammettere v₂=0. L'equazione di Bernoulli diventa in tal caso

avendo posto z₂-z₁=h dislivello fra la superficie libera del serbatoio e il rubinetto. Il risultato ottenuto è chiamato teorema di Torricelli.
E' interessante notare come la velocità di efflusso è identica alla velocità raggiunta da un corpo in caduta libera.

Tubo di Pitot

Lo strumento più comune per misurare la velocità di un liquido, è il tubo di Pitot che assicura rilevamenti abbastanza precisi sia nei corsi d'acqua che nelle condotte ed inoltre permette di rilevare la velocità in un punto qualsiasi della sezione.
Esso è formato da un tubo di vetro aperto ai due estremi e piegato a forma di L che viene immerso nella corrente.
Sia nel caso di fiumi o di canali, l'acqua per effetto della velocità di cui è dotata salirà nel tratto verticale del tubo fino ad una altezza h, misurata sopra il pelo libero

Inserendo il tubo di Pitot in una condotta la misurazione non è precisa se si trascura di applicare ad essa anche un tubo piezometrico. Nella tubazione, infatti, il liquido è sottoposto a pressione, e l'altezza rilevata col tubo di Pitot

Il tubo piezometrico,da parte sua, è impossibilitato per la sua conformazione a rilevare l'altezza cinetica.
Esso è solo rappresentativo di quanto prevale la pressione (relativa) interna al fluido rispetto la pressione atmosferica e misura una quota

il valore della velocità si ottiene quindi come:

Venturimetro

Il tubo di Venturi costituisce un'applicazione del principio di Bernoulli, utilizzata in un dispositivo per misurare la portata dei fluidi in pressione entro condotti chiusi.

Il tubo di Venturi è formato da un primo tronco di cono convergente da una sezione iniziale S₁ ad una sezione finale S₂ < S₁.
Dalla strozzatura S₂ parte un altro tronco di cono divergente, detto diffusore.
Se si applica un manometro differenziale tra le sezioni S₁e S₂, si rileva un dislivello h, che risulta proporzionale alla portata del fluido nel condotto, secondo una relazione che dipende dalle S₁ e S₂, dal dislivello h e dalla densità del fluido.

Indichiamo con p₁ e v₁ i valori della pressione e della velocità nella sezione 1, posta all'imbocco dell'apparecchio, e p₂ e v₂ i valori della seconda sezione coincidente con quella di area minima; in seguito alla riduzione di sezione, la velocità aumenta v₂>v₁ e diminuisce di conseguenza la pressione p₂< p₁. Senza perdite di carico si ha:

questo nell'ipotesi che l'apparecchio sia disposto ad asse orizzontale z₁=z₂.

Le pressioni p₁ e p₂ essendo poco diverse tra loro non possono essere misurate da comuni manometri per questo esse sono collegate tra loro da un manometro differenziale. Per effetto della minore pressione esistente nella sezione 2, il liquido monometrico risalirà nel relativo tubo creando tra i due rami del manometro un dislivello h possiamo dunque scrivere Se indichiamo con
ρ=densità del liquido che scorre nella tubazione
ρ'=densità del liquido manometrico

divedendo membro a membro per ρg:

dato che nella condotta il regime è stazionario:

m=S₁/S₂: rapporto di strozzamento

si ha in definitiva