Distribuzione binomiale

     

E' detta anche distribuzione di Bernoulli, è la più importante fra le distribuzioni discrete e definisce la distribuzione di probabilità di n prove ripetute e indipendenti, quando i risultati possibili di ciascuna prova possono essere soltanto due: il successo :
p : probabilità .favorevole all'evento
e l'insuccesso
q=1-p : probabilità sfavorevole all'evento.

Prove dipendenti sono ad esempio le estrazioni ripetute senza reintroduzione come nel caso del gioco del lotto dove la variabile aleatoria non mantiene la stessa probabilità di successo. Prove indipendenti sono eventi che non dipendono dalla storia precedente, ad esempio il lancio di un dado o l'estrazione di un numero alla roulette dove la variabile aleatoria conserva sempre la stessa probabilità di successo.

La distribuzione binomiale è la probabilità di ottenere x successi in n prove indipendenti.

Questa probabilità è data da:

        con        0 ≤ x ≤ n

Questa è la distribuzione binomiale o di Bernoulli a parametri n e p.

Esempio: Si lancia lancia un dado, n=4 volte studiare la variabile binomiale x=numero di volte in cui è uscito un numero <=2 quindi:

     probabilità che x non esca neanche una volta

il grafico della distribuzione di probabilità



Esempio:
Una moneta è lanciata n=7 volte, studiare la distribuzione di probabilità della variabile binomiale x= numero di volte in cui compare testa

dai valori ottenuti otteniamo il grafico della distribuzione

il grafico della funzione di ripartizione è il seguente:

Per la distribuzione binomiale valgono le seguenti formule:

              valor medio

     varianza

Esempio: in una officina sono installate 5 macchine uguali, ciascuna ha probabilità del 20% di guastarsi, studiare la variabile casuale X=numero di macchine guaste simultaneamente.

Infatti si verifica che:

..come preventivato
esempio: lancio di una moneta per n=6 volte; studiare la variabile aleatoria x=numero di volte in cui appare testa. Facendo i calcoli:

esempio: lancio di una moneta per n=12 volte; studiare la variabile aleatoria x=numero di volte in cui appare testa. facendo i calcoli:

in entrambi i casi n=6 ed n=12  l'area sottesa alla spezzata vale 1. Automatizzando la procedura:

In ogni caso, si ottiene un istogramma o meglio, una spezzata che può essere approssimata alla funzione

considerando che       e che     


funzione di densità di probabilità della distribuzione normale di media μ=6 e varianza σ²= 2.
La distribuzione è esempre disposta attorno al valor medio .
Nel caso p=q la distribuzione è simmetrica.

Valore medio (speranza matematica)

     

Il parametro che permette di definire la zona di massima probabilità di una variabile aleatoria è la media μ che si ottiene moltiplicando tutti i valori della variabile per le rispettive probabilità.

                       per dimostrare che μ=n·p sostituiamo:

         sapendo che          si ha

       ricordando che        

ponendo m=n-1 e k=x-1 → m-n=k-x → n-x=m-k

                per le proprietà dei coefficienti binomiali

     perché p+q=1 quindi è μ=n·p

Varianza                

Per definizione è dove x_i-μ sono gli scarti associati ad ogni singolo valore della variabile aleatoria X; dopo qualche passaggio si ottiene:

ma il termine è la media dei valori della variabile aleatoria X elevati al quadrato; dunque: σ²=M(X²)-μ² . Sostituendo p_i con il valore rappresentato nell'equazione di Bernoulli:

                 artificio: si pone x²=x(x-1)+x quindi

dunque

      se si svolge il coefficiente binomiale.

ponendo k=x-2 ed m=n-2 ricordando le proprietà dei coefficienti binomiali

ma               ne consegue

    avendo già dimostrato che μ=np , quindi