Teorema di Bayes : esercizi risolti

Esercizio 1

Sono assegnate due urne che contengono palline colorate:
A₁: 1 bianca, 2 nere,e 3 verdi:
A₂: 3 bianche, 1 nera e 2 verdi
Si lancia un dado e se il punto è 3 o 4 si estrae una pallina dall’urna A₁ , altrimenti si estrae una pallina dall’urna A₂. Sapendo che la pallina estratta è verde, qual’è la probabilità che sia stata estratta dall’urna A₁? E dall’urna A₂? Se invece la pallina è bianca qual’è la probabilità che sia stata estratta dall’urna A₂?

[ P(A₁|V)=3/7; P(A₂|V)=4/7; P(A₂|B)=6/7 ]

Esercizio 2

Tre macchine denominate 1, 2 e 3 producono gli stessi componenti elettronici. La produzione giornaliera è:
800 pezzi per la macchina 1
600 pezzi per la macchina 2
400 pezzi per la macchina 3
vengono individuati dei pezzi difettosi dalle tre apparecchiature:
il 5% per la macchina 1
il 4% per la macchina 2
il 2% per la macchina 3
i componenti vengono messi in scatole da 100 pezzi ciascuna, provenienti dallo stesso macchinario, e in quella giornata vengono confezionate 18 scatole. Viene selezionato un pezzo a caso da una delle 18 scatole e risulta difettoso. Qual’è la probabilità che il pezzo sia stato prodotto dal macchinario 2?

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Esercizio 3

Si svolge un test scolastico dove il candidato deve eseguire un test da scegliere tra tre buste A₁, A₂, A₃, in un tempo prefissato. Da esperienze precedenti si sa che la probabilità di eseguire nel tempo prefissato il test
A₁ è di 0,2
A₂ è di 0,5
A₃ è di 0,9
Sapendo che il candidato è riuscito a svolgere il test nel tempo prefissato calcolare la probabilità che abbia scelto la busta A₁.

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Esercizio 4

Una malattia colpisce in media 1 persona su 100. Esiste un test diagnostico che dà esito positivo nel 98% dei casi di persone affette da questa malattia e per le persone sane dà esito positivo in 5 casi su 1000. Una persona si sottopone al test che dà esito positivo.
Qual è la probabilità che la persona sia realmente affetta dalla malattia?

[ 0,6644=66,44% ]