edutecnica

Funzione di trasferimento di sistemi meccanici        

Per la legge di Newton della Fisica classica, è noto che un corpo, inizialmente fermo, sotto l'effetto di una forza f(t) variabile nel tempo (in assenza di attriti) subisce un'accelerazione e si mette in moto con velocità v(t).



Esiste un legame fra la sollecitazione ( la causa forzante ) f(t) e la risposta del sistema costituito dalla velocità; noi vorremmo trovare questo legame. Rappresentato con lo schema a blocchi sopra disegnato, questo legame è dato dalla funzione di trasferimento G(t).

Per la legge di Newton ( II legge della Dinamica ) dunque:

      poi               quindi       

Si nota che in questo tipo di problemi la conclusione è sempre una equazione integro-differenziale più o meno articolata e più o meno difficile da risolvere.
Per ragioni di comodità di calcolo, talvolta, si preferisce usare un approccio attraverso la trasformata di Laplace; per il teorema III qui visto :

è stata fatta l'ipotesi che il corpo fosse inizialmente fermo. Si ricava:

G(s) è la funzione di trasferimento del sistema.
Nota la f.d.t. la risposta v(t) del sistema dipende esclusivamente dalla forza in ingresso, se ipotizziamo che questa sia costante:

             avremo di conseguenza

se invece di studiare il legame fra forza applicata e velocità ci interessa avere come variabile di uscita la posizione x (spostamento) dell'oggetto considerato

     si ha              e anche              

torniamo alla seconda legge della Dinamica

    sempre per il teorema III di Laplace

              applicata allo spostamento x

se ipotizziamo che la posizione iniziale sia x=0 e che la velocità iniziale sia nulla x'=0

    con    

anche in questo caso, per semplicità, pensiamo di applicare una forza costante; risulterà essere

quest'ultima coincide, ovviamente, con la       della Fisica classica, ottenuta coi metodi dell'Analisi Matematica.

La presenza di dell'attrito viscoso si caratterizza in Meccanica con una forza resistente

   ( negativa perché si oppone alla direzione della forza agente f  )

con β=coefficiente di attrito viscoso mentre v=velocità; il principio di D'Alembert afferma:
m·a=forze attive + forze resistenti

supponiamo di voler determinare la velocità mantenendo la forza come variabile di ingresso.

mantenendo le stesse ipotesi sulle condizioni iniziali ( per t=0 ) con f(t)=fo.

    mentre     

dalla tabella delle trasformate si ha

Oscillatore armonico      

E' il caso delle vibrazioni forzate di una molla già viste, dove il principio di D'Alembert viene scritto come

    

supponiamo di voler stabilire la relazione fra velocità e forza senza che vi sia smorzamento β.

Dai teoremi sulla trasformata sappiamo che se

          la funzione di trasferimento    

poi sostituendo la f(s)

con    

Oscillatore smorzato      

Il caso delle oscillazioni smorzate è già stato valutato nel caso della molla

               con le stesse valutazioni fatte prima avremo

nel campo della variabile complessa s:

      anche in questo caso se  

la risposta nel tempo dipende dalle radici del trinomio al denominatore; se ammettiamo due radici reali distinte a e b si può applicare la formula dalla tabella:

Se le radici sono reali coincidenti pari ad a, si applica la

altrimenti si applica la

con       e         si nota inoltre

         e        quindi

Moto rotatorio      

In Meccanica applicata, è il problema di un albero soggetto ad una coppia che deve essere trasmessa.
I Fisici preferiscono parlare di un cilindro in rotazione di momento di inerzia pari a J sotto l'azione di una coppia C che nella letteratura può anche essere chiamata MT ( momento torcente ) o τ ; con θ viene indicato l'angolo formato con un asse convenzionale mentre ω è la velocità angolare. E' dimostrato che risulta:

       o meglio           

applicando il teorema III di Laplace

imponendo come condizioni iniziali θ(0)=0 e ω(0)=0 si ha  

la funzione di trasferimento fra lo spostamento angolare θ e la coppia è

se si vuole trovare la risposta nel dominio del tempo, basta antitrasformare. Nell'ipotesi che il sistema sia soggetto alla coppia costante Co con

in presenza di attrito viscoso, la coppia deve bilanciare anche quest'ultimo

              di conseguenza

   con le stesse condizioni iniziali di prima

Il coefficiente di attrito β deve essere dimensionalmente compatibile con l'equazione impostata; se stiamo facendo un bilancio di forze si parla di [Kg/s] o [Ns/m] ; se si tratta di un bilancio di coppie ( come in questo caso ) si ha [Nm2/s].

Schemi elettrici equivalenti      

Si intuisce che il comportamento di sistemi meccanici può essere ricondotto a schemi elettrici per essere in questo modo più facilmente studiato; bisogna riassumere il comportamento dei vari componenti elettrici nel dominio della variabile complessa s di Laplace.

Gli ultimi due componenti a destra, sono rispettivamente un generatore di tensione costante di valore E ed un tradizionale generatore in alternata di valore E·sinωt.

Per il generico oscillatore si avrebbe

facciamo corrispondere la forza applicata alla tensione e la velocità alla corrente se si vuole il circuito serie; oppure il contrario se si vuole fare il circuito parallelo.