edutecnica

Criterio del luogo delle radici        

Il metodo del luogo delle radici ( Evans 1948 ) è a tutt'oggi il metodo più rigoroso per valutare la stabilità di un sistema reazionato, partendo dalla conoscenza dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento ad anello aperto Gloop=A(s)B(s).
Ricordando che per un sistema reazionato, la funzione di trasferimento ad anello chiuso vale .

i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso si ottengono determinando le radici del denominatore della funzione stessa

Considerando la funzione ad anello aperto posta in prima forma canonica:

          [I]

si ha di conseguenza

                                          [II]

Rappresentando sul piano complesso i poli e gli zeri della [I] per un generico valore si s, si nota come i singoli fattori della funzione possono essere rappresentati da singoli vettori che hanno come punto di applicazione i vari poli e zeri e vertice nel punto s scelto arbitrariamente.

L'argomento della [I] è la somma algebrica dei singoli vettori ( positivi quelli degli zeri negativi quelli dei poli ), il modulo della [I] è ottenibile facendo il prodotto dei moduli dei vettori relativi agli zeri diviso il prodotto dei moduli dei vettori relativi ai poli col risultato moltiplicato per ko.

Ora perchè un punto del piano complesso sia una radice della [II] serve che la somma algebrica degli argomenti dei vettori sia pari a 180°+h360° h∈N e che il prodotto dei moduli dei vettori relativi agli zeri diviso il prodotto dei vettori dei poli sia uguale a 1/ko.

Escludendo una ricerca per tentativi dei valori della variabile s che soddisfi a questi requisiti si può invece pensare, di trovare tutti i punti del piano complesso che soddisfino la relazione angolare: somma algebrica degli argomenti=180°+h360°. Questi punti stanno su delle curve che possono essere ricavate attraverso delle precise regole.

Queste curve rappresentano il luogo delle radici dato che le eventuali radici della [II] possono trovarsi su queste curve.

Si definisce il luogo delle radici, l'insieme di curve nel piano complesso i cui punti possono essere i poli del sistema reazionato.

In pratica, il luogo delle radici si compone di diversi rami e per un dato valore di ko su ogni ramo esiste una radice; per cui i rami sono tanti quante le radici della [II].

Una volta tracciati i luoghi delle radici, invece che cercare per tentativi i punti che soddisfano alla relazione del modulo, conviene 'tarare' i luoghi in funzione di ko. infatti dalla [II] mettendo in modulo entrambi i membri

In base a quest'ultima equazione si deve avere una esatta visione di come variano i poli del sistema reazionato in funzione della variazione del guadagno statico d'anello k

Essendo il luogo delle radici rappresentativo della collocazione dei poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso G(s) è evidente che i valori di ko per i quali il luogo delle radici si addentra nel semipiano destro rendono il sistema instabile.

1) Numero dei rami.
Il numero dei rami del luogo delle radici è uguale al numero dei poli della funzione di trasferimento ad anello aperto.

2) Partenza dei rami.
I rami del luogo delle radici partono dai poli della funzione ad anello aperto.

3) Arrivo dei rami.
I rami del luogo delle radici terminano negli zeri della funzione di trasferimento ad anello aperto, oppure all'infinito.

4) Simmetria rispetto all'asse reale.
Il luogo dele radici è simmetrico rispetto all'asse reale.

5) Luogo delle radici sull'asse reale.
Sull'asse reale il luogo delle radici è costituito da tutti quei punti tali che il numero dei poli e degli zeri alla loro destra sia dispari.

6) Direzione degli asintoti.
I rami del luogo delle radici che terminano all'infinito tendono a degli asintoti i cui coefficienti angolari sono dati dalla relazione

dove n è il numero di poli ed m è il numero degli zeri della funzione Gloop=A(s)B(s).
Dato che h può assumere qualsiasi valore intero, potrebbe sembrare che ci siano infiniti asintoti; in realta questi risultano pari ai rami che vanno all'infinito, dato che al crescere di h i valori di α si ripetono . Ad es. i valori di α in funzione di n-m sono:

n-m α
1 180°
2 90° | 270°
3 60° | 180° | 300°
4 45° | 135° | 225° | 315°

7) Intersezione degli asintoti.
Gli asintoti incrociano l'asse reale in un punto di ascissa data dalla relazione

8) Punti di biforcazione dall'asse reale.
Il punto o i punti in cui i rami del luogo delle radici si distaccano dall'asse reale è determinato uguagliando a zero i reciproci delle distanze dei poli e degli zeri reali da quel punto. Questo viene espresso dalla relazione:

9) Direzione di partenza e di arrivo dei luoghi.
I rami del luogo che partono dai poli complessi coniugati lasciano tali punti con un angolo θ rispetto alla direzione dell'asse reale dato dalla relazione:

Dove θi è l'argomento del vettore congiungente lo zero zi con il polo considerato e φi è l'argomento del vettore congiungente il polo pi con il polo considerato.
In modo analogo si può dimostrare che i rami che giungono agli zeri complessi coniugati arrivano con un angolo θ rispetto all'asse reale dato da:

10) Somma delle parti reali delle radici.
Nel caso che il grado del denominatore della Gloop=A(s)B(s) superi di almeno 2 quello del numeratore
( n-m≥2 ) la somma delle parti reali delle radici della funzione di trasferimento ad anello chiuso risulta costante,indipendentemente dal valore di ko.

Esempio 1

          con        

si ha un solo polo per       .

Il luogo delle radici ha un solo ramo che coincide con l'asse reale negativo a sinistra di ;
il ramo termina a ; non essendovi zeri.

     per s=–2 si ha

per s=–4 si ha

Esempio 2

   con   

Per la regola 1 il luogo consiste in due rami che partono dai poli p1=-1 e p2=-10 che terminano all'infinito non essendovi zeri.

Per la regola 5 appartiene al luogo delle radici il tratto dell'asse reale compreso fra i due poli.
I due rami terminano all'infinito per la regola 6 formando con l'asse reale angoli di 90° e 270° ( n-m=2 ) ed incontrano l'asse delle ascisse nel punto dato dalla regola 7.

I due rami si distaccano dall'asse reale nel punto di ascissa a data dalla regola 8.

dunque a=d :si nota che questo punto coincide con quello di incontro degli asintoti, quindi in questi tratti il luogo delle radici coincide con gli asintoti stessi.

nel punto a=-5,5 si ha                    

nel punto b=-5,5+j2 si avrebbe     

Esempio 3

    con     

I base alla regola 1 il luogo è costituito da due rami di cui uno termina nello zero ( regola 3 ) e uno all'infinito con asintoto a 180° in base alla regola 6. Il luogo è dunque costituito da due tratti sull'asse reale determinati in base alla regola 5 ed è disegnato come:

Esempio 4

    con    

Se ci sono tre poli, il luogo delle radici deve avere tre rami che partendo da dai poli devono terminare all'infinito non essendoci zeri. Appartengono all'asse reale i tratti compresi tra -0,25 e -0,5 (un polo a destra ) e a sinistra dal punto -1 (tre poli a destra ). Per la regola 6 si hanno tre asintoti con inclinazione 60°;180° e 300° che si incontrano sull'asse reale nel punto di ascissa dato dalla regola 7

Il luogo delle radici si stacca dall'asse reale in un punto d dato dalla relazione

( la seconda soluzione –0,8 non appartiene al luogo delle radici ) .
Campionando alcuni valori che appartengono al luogo troviamo

s ko
-0,4+j0 0,009
-0,43+j0 0,00718
-1,018+j0 0,00716
0,363+j0 0,01
0,3±j0,27 0,57
-1,126+j0 0,56
-0,2±j0,535 2,53
0±j0,9,35 11,25
0,215±j1,315 30
-2,17+j0 30

è possibile controllare i risultati ottenuti con questa pagina.

In particolare l'attraversamento dell'asse immaginario che indica il limite della stabilità può essere individuato in due modi:
1) tramite il criterio di Routh
2) ponendo s=jω nell'equazione caratteristica

1+A(s)B(s)=0

e risolvendo il sistema

che a volte può essere laborioso; ad es. nel nostro caso:

uguagliando a zero la parte immaginaria

uguagliando a zero la parte reale e sostituendo