Sintesi di una funzione logica con le mappe di Karnaugh
Assegnata una funzione logica, la mappa di Karnaugh corrispondente non
è altro che una rappresentazione grafica della tabella della verità della
stessa funzione.

La manovra più conveniente consiste nel marcare le variabili di ingresso
con degli 1 quando esse non sono negate e con degli 0 quando esse sono
negate, come indicato sotto:
Si riportano degli 1 in corrispondenza delle combinazioni delle variabili
di ingresso evidenziate nella funzione.La tabella della verità è una sintesi del comportamento
della variabile di uscita Y in corrispondenza di tutti i possibili valori
delle variabili di ingresso.
Dalla tabella della verità di una funzione si può subito ricavare la corrispondente
mappa di Karnaugh. La mappa di Karnaugh di una funzione ad n variabili
di ingresso consiste in un rettangolo di 2n caselle dove ogni
casella corrisponde ad uno dei possibili stati (combinazioni) delle variabili
di ingresso con la caratteristica che passando da una casella all’altra
in ogni direzione (ma non in diagonale) cambia una sola delle variabili,
debbono essere considerate adiacenti anche le caselle di estremità
di una riga o di una colonna, come se la mappa fosse disegnata su una
superficie chiusa su se stessa. In ognuna delle caselle viene posto
il valore assunto dalla funzione (variabile Y) booleana per quello stato
(per quella combinazione delle variabili di ingresso). Le regole
che si seguono per la semplificazione sono:
1) Bisogna individuare il minor numero di gruppi (che copre tutti gli
1 della mappa).
2) Ciascun gruppo deve contenere il maggior numero di 1 adiacenti (il
numero di 1 che costituisce un gruppo deve formare una potenza del 2,
si scelgono perciò gruppi da due 1 o da quattro 1 etc..).
3) Come si è detto sono considerabili adiacenti le caselle di estremità.
4) Eventuali 1 isolati costituiscono un gruppo e debbono essere riportati
integralmente.
5) Da ogni gruppo si estrae un termine che contiene le variabili di ingresso
che non variano passando da una casella all’altra del raggruppamento stesso,
ciascuna variabile sarà in forma vera o negata a secondo se vale 1 o 0
nel raggruppamento.
6) La funzione logica minimizzata sarà data dalla somma logica dei termini
estratti dalla mappa.
Ad es. per il caso precedente:
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Come si nota il minimo numero di gruppi è due, ciascun gruppo
contiene tanti 1 sempre in ragione delle potenze del 2 (cioè 4 e
2 uno) nel primo gruppo orizzontale passando da una casella all’altra
l ’unica variabile che non cambia è la C che rimane impostata a
0 per cui verrà estratta come termine .
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Nel gruppo verticale passando da una casella all’altra le nice variabili
che non cambiano sono la A che rimane impostata a 0 ( )
e la B che rimane impostata a 1 (B); verrà dunque estratto il termine
; in definitiva la funzione semplificata
sarà:
Supponiamo ora di dover semplificare una funzione con 4 variabili,
la rappresentazione usuale della mappa sarà la seguente:
Condizioni di indifferenza
Talvolta il valore dell’uscita in una data tabella della verità non viene
specificato per alcune combinazioni delle variabili di ingresso o
perchè queste combinazioni non possono verificarsi o perchè non interessa
conoscere il valore della variabile di uscita corrispondente a tale combinazione.
Si parla in questo caso di condizioni di indifferenza.In questa
situazione l’uscita che può assumere indifferentemente il valore 0 o 1
viene riportata sulla mappa e sulla tabella col simbolo f.
Le condizioni di indifferenza possono essere sfruttate per semplificare
ultriormente la funzione assegnando loro il valore 1 quando ciò risulti
conveneiente.
A
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B
|
C
|
Y
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0
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0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
f
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
f
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
f
|
1
|
1
|
1
|
1
|
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In questo caso considerando 1 le condizioni di indifferenza abbiamo:
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Nel caso avessimo considerato 0 le condizioni di indifferenza la
funzione risultante sarebbe stata leggermente più complessa:
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