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Grandezze scalari e grandezze vettoriali        

Che cos’è un vettore? Un vettore è una entità geometrica perché viene definito come un segmento orientato.
Il vettore è dunque, una nozione di tipo matematico/geometrico anche se un suo impiego diretto si ha soprattutto in Fisica e in altre discipline.

In Fisica si hanno due tipi di grandezze: le grandezze scalari - sono quelle che possono essere individuate solo dalla loro misura rispetto ad una unità prefissata.

Le grandezze vettoriali - che vengono individuate associando alla loro misura, una direzione e un verso.

Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, il tempo.

Esempi di grandezze vettoriali sono le forze, la velocità, l'accelerazione.

Le grandezze scalari vengono espresse attraverso un semplice numero (con la rispettiva unità di misura).
Le grandezze vettoriali per essere espresse, oltre alla loro intensità, necessitano di informazioni supplementari di tipo geometrico (verso e direzione).

Vettori      

Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un segmento frecciato (dotato di freccia) chiamato vettore.

La retta a cui appartiene il segmento individua la direzione della grandezza, la freccia indica il verso e la misura del segmento (rispetto all'unità di misura scelta) è detta modulo o intensità del vettore.

Il vettore si indica con una lettera soprassegnata da una freccia o da un segmento v. Il modulo si indica con la stessa lettera senza nessuna soprassegnatura oppure con l'annotazione di modulo |v|.

Versori      

Ad ogni vettore si può associare un altro vettore di modulo unitario che abbia lo stesso verso e la stessa direzione del vettore originario a questo vettore di modulo unitario si da il nome di versore.

In questo esempio il vettore a è parallelo all'asse x di versore (unitario) i, per questo si può scrivere

Nel caso di vettori bidimensionali possiamo usare come riferimento una coppia di assi cartesiani ortogonali, disponendo il vettore con punto di applicazione nell'origine del piano. Il vettore può essere, in questo caso, identificato dalla sua coppia di coordinate cartesiane


      

oppure tramite le coordinate polari     

 

bisogna specificare che ρ corrisponde col modulo ( o intensità del vettore ) |v|. Vale dunque la relazione.

       mentre per la trigonometria è       

Se sono note solo le coordinate polari, è possibile risalire alle coordinate cartesiane tramite le seguenti formule della trigonometria:

           

Utilizzando la notazione coi versori è possibile indicare

          oppure         

Prodotto di un vettore per un numero reale      

Se abbiamo un vettore e un numero reale k , viene definito il prodotto scalare del numero k per il vettore v scrivendolo come:

il vettore kv è allineato al vettore v , avrà lo stesso verso, oppure opposto a secondo che k sia positivo o negativo.

Somma e differenza di vettori      

Se abbiamo due vettori a e b per trovare la loro somma a+b si applica la regola del parallelogramma che consiste nel tracciare sul punto finale di ciascun vettore la retta parallela all'altro vettore.
La congiungente fra l'intersezione delle due rette e il punto di applicazione dei due vettori è la somma risultante dei due vettori.
In modo del tutto equivalente è possibile trovare la somma trasportando parallelamente a se stesso uno dei due vettori facendo poi coincidere la coda del vettore traslato con la punta del vettore lascito fisso (metodo punta-coda).

La somma di due vettori è commutativa perché

I due vettori così ottenuti sono applicati ad uno stesso punto. Il vettore somma detto risultante è il vettore applicato allo stesso punto e avente l'altro estremo nel vertice opposto al parallelogramma di lati a e b.

Questa è la regola del parallelogramma, ma il vettore somma risultante, poteva essere ottenuto anche facendo traslare uno dei due vettori, ad es. facendo coincidere la coda di b con la punta di a.

In questo caso viene ad evidenziarsi il disegno in alto a destra, per il quale si può dire

Ma      e       quindi

    

questa è la formula di Carnot; ma non ci dà informazioni sulla direzione del vettore risultante cioè sull'algolo α. Per quello si può ricorrere al teorema dei seni:

                  per cui si può usare

    

nel caso θ > 90° questa formula deve essere adattata     

La differenza fra due vettori a e b si ottiene addizionando al primo, l'opposto del secondo.

 

La differenza di due vettori è anticommutativa perché

     ma   


si può dimostrare in questo caso che      

Poligono funicolare      

Da quello che si è visto, la differenza fra due vettori può essere ricondotta ad una somma; e la somma risultante di due vettori può essere ottenuta graficamente disponendo i due vettori consecutivamente, facendo traslare un vettore e mettendo il suo punto di applicazione sulla freccia dell'altro ( metodo punta-coda ).

La somma risultante di più vettori complanari si potrebbe quindi trovare col metodo delle successive risultanti considerando i vettori due a due ma rimane un sistema comunque laborioso.

Il metodo del poligono funicolare è invece un sistema abbastanza facile per determinare graficamente la risultante di più vettori complanari.

Ipotizzando per semplicità di avere solo tre vettori complanari, si costruisce a partire da un punto O qualsiasi una poligonale riportando i vettori a , b e c consecutivamente con la stessa intensità e con la stessa direzione.

Si individuano così i punti 1 2 e 3 . congiungendo il punto O con il punto 3 si ottiene la somma risultante R del sistema di vettori.
A questo punto abbiamo trovato modulo e direzione della risultante.
Il punto di applicazione della risultante si ottiene tracciando la parallela ad OP fino ad intersecare la direzione del vettore a nel punto A; da questo punto si traccia la parallela a 1P fino ad intersecare la direzione del vettore b nel punto B; da questo punto si traccia la parallela a 2P fino ad intersecare la direzione del vettore c nel punto C; da quest'ultimo punto si traccia la parallela a P3. Le rette passanti per A e C e parallele rispettivamente ad OP e 3P si incontrano in un punto X che è il punto di applicazione della risultante R del sistema di vettori.

Prodotto scalare di due vettori      

Dati i due vettori

si chiama prodotto scalare ( o prodotto punto ) a per b , il numero reale

come il prodotto dei loro moduli per il coseno dell'angolo αformato dalle loro direzioni.
Questo prodotto viene definito in Fisica come

cioè, la quantità scalare, ottenuta facendo il prodotto dei moduli di a e b per il coseno dell'angolo compreso fra i due vettori. Essendo cos90°=0, la notazione

può essere usata per esprimere una condizione di perpendicolarità fra i due vettori.

Prodotto vettoriale di due vettori      

Il prodotto vettoriale di due vettori a e b si indica col simbolo a × b ( si dice "a vettor b" ) è definito come un vettore.

La direzione di questo vettore risultante è perpendicolare al piano di giacitura di a e b .
Il suo verso è tale che un osservatore avente la stessa orientazione del vettore risultante, deve ruotare in senso antiorario il vettore a per sovrapporlo a b.

Il modulo di  a × b  vale:.

Si vede come nel prodotto vettoriale siano implicate almeno tre dimensioni spaziali, perché la risultante di questa operazione è perpendicolare al piano definito dai due vettori operandi.
Se ci riferiamo ad uno spazio tridimensionale definito da una terna di assi cartesiani x, y e z di versori, rispettivamente, i , j e k il prodotto vettoriale può essere espresso dal determinante della seguente matrice.