edutecnica

Dinamica       

Mentre la statica si interessa l'equilibrio dei corpi rigidi soggetti a sistemi di forze, la cinematica si occupa del moto del movimento di tali corpi, la Dinamica studia il moto dei corpi in relazione alle cause che lo producono o ne cambiano le caratteristiche

Questo argomento della meccanica può essere suddiviso in due parti:
•dinamica del moto traslatorio
•dinamica del moto rotatorio

La differenza tra questi due tipi di moti è piuttosto evidente, basti pensare al tipo di spostamento compiuto attraverso questi due atti di moto e alla definizione di velocità nei due casi di moto rettilineo uniforme (traslatorio) e circolare uniforme (rotatorio) per un punto materiale


Come si vede il moto traslatorio ricade nel primo caso: si ha uno spostamento lineare in una direzione e la velocità viene espressa come lo spazio percorso nell'unità di tempo: m/s . Nel caso del moto rotatorio lo spazio misurato è un angolo (θ) che generalmente viene espresso in radianti, in tal modo si definisce la velocità del moto rotatorio, come la quantità di gradi (radianti) percorsi sull'unità di tempo (sec.) la velocità è misurata appunto in rad/sec.

Leggi della Dinamica                                                    

Lo studio del moto di traslatorio si basa sulle tre leggi fondamentali della dinamica, anche chiamate leggi di Newton.

Ia legge della Dinamica (o legge d'inerzia).
Un corpo rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino a che non interviene una forza esterna in grado di alterare quello stato.

IIa legge della Dinamica.
Una forza applicata a un corpo gli imprime una accelerazione proporzionale all' intensità della forza stessa e orientata nella stessa direzione.

Si parla in questo caso di una forza non equilibrata da altre, oppure, della risultante di tutte le forze agenti sul corpo.
Se il corpo rigido si trova su un piano su quale può muoversi senza attrito (trascurando anche l'attrito della viscosità dell'aria, quindi nel vuoto) si esprime la IIa legge come

                       

Il termine m·a è chiamato forza di inerzia.
(F) è la forza applicata, mentre (a) è l'accelerazione acquisita dal corpo, con (G) indichiamo il baricentro del corpo . (a) ed (F) sono dunque vettori fra loro proporzionali, mentre con m si indica una costante di proporzionalità.
Se oltre ad (F) vi è un'altra forza resistente (R) (ad es. dovuta all'attrito) si scriverà :

La somma al primo membro deve essere intesa come somma algebrica. Se per semplicità F ed R si trovano sulla stessa retta di azione con verso opposto come indicato nel disegno, bisognerà sottrarre R (negativa nel senso x) ad F (positiva nel senso x) per ottenere la forza risultante da riportare al primo membro.

in altri termini notando che sia (F) che (R) che l'eventuale accelerazione (a) saranno dotate della stessa direzione (lungo l'asse x orizzontale) si scriverà

Se F>R il corpo tenderà a spostarsi nel senso positivo dell'asse x e il vettore m·a si opporrà alla realizzazione di questo movimento ; sarà dunque diretto nel senso negativo dell'asse x.

Se F<R il corpo tenderà a fermarsi decelerando e il vettore m·a si opporrà a questa eventualità e sarà orientato nel senso positivo delle x.
In sintesi la direzione dei vettori sarà la seguente:

1) se il moto è uniforme su un piano orizzontale, essendo la velocità costante a=0 e quindi m·a=0

         

La forza motrice è uguale alla forza resistente.

2) se il moto è accelerato la forza motrice deve equilibrare la forza di inerzia e la forza resistente:

       

 

3) se il moto è decelerato (manca la forza motrice) l'accelerazione è negativa per cui il vettore ma ha verso contrario rispetto al caso precedente: la forza di inerzia favorisce il moto mentre la forza resistente lo contrasta.

         


Un altro esempio di moto traslatorio è quello che riguarda un corpo di peso p=mg disposto su di un piano inclinato di un angolo α rispetto all'orizzontale.

trascurando gli attriti, la forza motrice è costituita dalla forza pt tangenziale al piano, quindi si ha F=pt=p·sinα

da questa relazione si ottiene l'accelerazione acquisita da un corpo che scende lungo un piano inclinato privo di attriti.

Con la presenza di attrito R nel caso del moto su un piano inclinato si possono presentare le seguenti eventualità:

•Se il moto è in discesa su un piano inclinato; con moto accelerato, sotto l'effetto della componente pt della forza-peso si ha:

          

•Se il moto è uniforme (velocità costante) verso l'alto su un piano inclinato; la forza d'inerzia (m·a) è nulla si deve considerare la componente pt della forza peso che si oppone alla salita.

          

•Se il moto è accelerato verso l'alto su un piano inclinato; la forza d'inerzia non è nulla.

         

La seconda legge della Dinamica interviene anche se la forza applicata si esprime secondo una direzione diversa alla direzione dello spostamento come si nota nel seguente disegno

in questo caso solo la componente Fx risulterà efficace per far imprimere al blocco una accelerazione, mentre la componente Fy verrà equilibrata da una reazione uguale e contraria del vincolo costituito dal piano di appoggio e si potrà scrivere

Il corpo, alla fine, acquista una accelerazione tanto maggiore quanto minore è il valore della costante m e prosegue con moto uniformemente accelerato fino a che la forza rimane a esso applicata. Se la forza cessa di agire il corpo prosegue nella stessa direzione con moto rettilineo uniforme. L'esatta tipologia della costante m può essere individuata considerando un corpo di peso (p) che viene lasciato cadere da una determinata altezza nel vuoto. Dagli esperimenti, si sa che esso per effetto della forza di gravità terrestre, esso, acquisterà una certa accelerazione (g) in discesa (l'accelerazione gravitazionale). Dato che in questo caso l'unica forza applicata al corpo è il suo peso (p) la formula precedente può essere riscritta come

      

la costante (m) che viene chiamata massa, può essere definita come il rapporto tra il peso di un corpo e l'accelerazione di gravità.

IIIa legge della dinamica (o legge di azione e reazione).
Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Di quest'ultima legge ci sono molteplici evidenze, ad esempio se un palloncino si sgonfia improvvisamente esso viene spinto in direzione opposta alla direzione da cui esce l'aria dal foro del palloncino stesso.

Osservando la seconda legge di Newton nella forma

                 con F=forza motrice ed R=forza resistente.

In questa formula il prodotto m·a è da considerare a tutti gli effetti una forza fittizia e (come già detto) viene chiamata forza di inerzia. Il suo segno negativo sta a rappresentare un ostacolo alla realizzazione del moto.

Tutti i corpi tendono, per inerzia, a muoversi con velocità costante. Un corpo inizialmente fermo tende a rimanere fermo.

Si può concludere che: in un corpo rigido, le forze agenti, le eventuali forze resistenti e le forze di inerzia si fanno equilibrio in ogni istante.
In assenza di forze resistenti la forza di inerzia ha intensità tale da equilibrare in ogni istante la forza motrice.
Se sono presenti attriti la forza motrice deve equilibrare la risultante di questi e la forza di inerzia.
La forza di inerzia si manifesta in molte pratiche quotidiane: quando un veicolo parte di scatto, conducente e passeggeri si sentono spinti nella direzione contraria a quella del moto, come se nei loro confronti agisse una forza resistente, questa sensazione è maggiore quanto maggiore è l'accelerazione del veicolo: questa è una evidenza della forza di inerzia.

Nelle formule che si sono viste tutte le forze (anche quella di inerzia) si intendono applicate al baricentro del corpo se la forza motrice ha una retta di azione che non passa per il baricentro del corpo rigido considerato, si può produrre la rotazione del mobile (ribaltamento) perchè F ed m·a costituiscono una coppia di forze.

Impulso di forza e quantità di moto                                                    

Consideriamo la seconda legge di Newton nella sua forma più semplice e moltiplichiamo entrambi i membri per il tempo t.

ma a·t=v velocità

Supponiamo di voler avviare un corpo dotato di massa (m) inizialmente fermo e di voler fargli raggiungere una certa velocità (v): possiamo ottenere questo risultato in due modi:

1).usando una forza piccola applicandola per un lungo periodo di tempo
2).usando una forza grande applicandola per un breve periodo di tempo

Se la forza F rimane applicata per un tempo t, il corpo mobile acquista una certa accelerazione (a) che per la cinematica vale

con vo=velocità iniziale e v=velocità finale acquisita ; sostituendo

   

I=F·t=impulso di forza
p=m·v=quantità di moto

Teorema dell'impulso: La variazione della quantità di moto è uguale all'impulso della forza che agisce su un corpo.

Approfittando della 'famigliarità' tra l'impulso di forza e la seconda legge della dinamica sintetizziamo, attraverso uno schema, il moto di un corpo dotato di una massa m=1÷10kg, soggetto ad una forza motrice F=1÷20N, che viene applicata per un tempo ta=3÷9sec sulla massa stessa, in direzione positiva dell'asse x. Ipotizziamo l'eventuale presenza di una forza resistente R che riteniamo attribuibile alla sola resistenza di attrito del piano (trascuriamo l'attrito viscoso dell'aria). Il valore della forza resistente R=0%÷75% di F quindi essendo F>R la massa si muoverà sempre verso destra (direzione positiva asse x). In assenza della forza resistente, dopo il tempo ta di accelerazione, la forza motrice cessa la sua azione ed il corpo si muove con moto uniforme (velocità costante) per un tempo indefinito, percorrendo uno spazio indefinito. In presenza della forza resistente che è costante alla fine del periodo di accelerazione, il mobile avrà acquisito una velocità massima che potrà soltanto decrescere a causa dell'unica forza rimasta R. Si vede come, in tutti i casi, la forza di inerzia (in giallo)si oppone alla risultante delle forze attive (F in rosso) e reattive (R in blu) . Se non vi sono forze attive e/o reattive applicate al corpo, la forza di inerzia cessa di esistere.

: tempo 3 s

: massa 1 kg

: forza 1 N

: R = 0% di F


In fase di accelerazione si ha         

la velocità raggiunta alla fine del tempo di accelerazione ta può essere calcolata come

  o anche con la v=a·ta  (usando le stesse leggi già viste in cinematica).

Lo spazio percorso durante la fase di accelerazione è     

Dopo il tempo di accelerazione ta cessa di esistere la forza motrice F. Se non esiste la forza reattiva R, il mobile continua indefinitivamente il suo moto; in caso contrario, comincia decelerare con accelerazione

   con il tempo di decelerazione        lo spazio totale può essere calcolato come

  lo spazio di decelerazione sarà   xd=xtot-xa.

Ad es. con F=1N m=1kg R=15% di F ta=3 sec si avrebbe in fase di accelerazione :

in fase di decelerazione

Queste considerazioni valgono nel caso di un singolo corpo; se in un sistema vi sono almeno due corpi come indicato nel disegno, vale il

Principio di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto totale di un sistema composto da due particelle soggette soltanto alla loro mutua interazione rimane costante.

all'istante t la particella 1 si trova in A con velocità v1 e la particella 2 si trova in B con velocità v2. In un istante successivo t' le particelle si trovano in A' e B' con velocità v1' e v2'.

Se indichiamo con m1 ed m2 le rispettive masse delle due particelle, la quantità di moto complessiva del sistema è

Nell'istante successivo t' avremo

Per il principio di conservazione della quantità di moto avremo:

Queste considerazioni portano alla seguente osservazione: un'interazione fra due particelle produce uno scambio di quantità di moto, cosicché la quantità di moto persa da una delle due particelle è uguale alla quantità di moto guadagnata dall'altra particella.

     sottraendo membro a membro

     cioè          quindi:

notando che

La forza è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto (secondo principio della dinamica)

differenziando rispetto al tempo t:          l'equazione precedente diventa:

Quando due particelle interagiscono , la forza agente su una particella è uguale ed opposta alla forza agente sull'altra (che poi coincide col terzo principio della dinamica).