edutecnica

Composizione di movimenti        

Il moto rettilineo è un moto che si svolge in un'unica direzione e quindi in un'unica dimensione ma il moto di un corpo può essere assoggettato in due o tre dimensioni. Nel caso, ad esempio di un aereo in fase di decollo, osserviamo che il suo moto è la risultante di due spinte: quello dei motori in senso orizzontale e quello della spinta dell'aria sulle ali in senso verticale.

Un altro esempio è il moto di un proiettile sparato da un cannone con inclinazione data. In tal caso, il corpo mobile, sarà soggetto ad una spinta sia orizzontale che verticale, con l'ulteriore condizione che tale corpo, in senso verticale, è soggetto anche ad un moto uniformemente accelerato dato dalla forza di gravità con accelerazione g.
Si tratta, infatti, dello stesso fenomeno a cui può essere soggetto un pallone di calcio o di basket durante il suo utilizzo convenzionale.

Posizione e spostamento        

Il modo più semplice per individuare la posizione di un punto materiale in uno spazio tridimensionale
è quella di usare il vettore posizione r:

dove i, j e k sono i versori degli assi coordinati rispettivamente x, y e z. Ricordiamo che un versore è un vettore di modulo unitario che ha la stessa direzione e verso dell'asse a cui è associato. Le quantità x, y e z sono le tre componenti scalari di tale vettore. Per esempio utilizzando delle misure in metri,

con coordinate (-2 m, 3 m, 5 m). Lungo l'asse x la particella è a -2 m dall'origine, nella direzione lungo l'asse y si trova a 3 m dall'origine, lungo l'asse z si trova a 5 m dall'origine, nella direzione.

Quando una particella si muove, il suo vettore posizione cambia in che il vettore r si estenda sempre alla particella dal punto di riferimento (l'origine). Se la posizione della particella cambia durante un certo intervallo di tempo Δt, il vettore posizione cambia, diciamo , da r1 a r2, quindi chiamiamo Δr lo spostamento delle particelle durante tale intervallo di tempo è

      

usando la notazione vettoriale avremo

che si può scrivere nella forma

dove le coordinate (x1, y1, z1) corrispondono al vettore di posizione r1 e alle coordinate (x2, y2, z2) corrispondono al vettore di posizione r2 . Possiamo anche riscrivere lo spostamento sostituendo Δx per (x2 x1), Δy per (y2 y1) e Δz per (z2 z1):

Velocità                      

Se una particella si sposta da un punto a un altro, potremmo aver bisogno di sapere quanto velocemente essa si sposta. Come nel caso del moto rettilineo possiamo definire le due quantità : velocità media e velocità istantanea. Tuttavia, qui dobbiamo considerare queste quantità come vettori e usare una notazione vettoriale.
Se una particella si muove attraverso uno spostamento Δr in un intervallo di tempo Δt, allora la sua la velocità media vm è definita come

        che può essere riscritta come

ad esempio se una particella effettua uno spostamento 15i+6k [m] in un intervallo Δt=3 s

Quando parliamo della velocità di una particella, di solito intendiamo la velocità istantanea. Questo è il valore a cui si avvicina vm mentre riduciamo l'intervallo di tempo Δt a 0. Usando l'analisi matematica di calcolo, possiamo scrivere come derivata

     

Nel disegno si vede il percorso di una particella limitata al piano xy. Durante l'intervallo di tempo Δt, il vettore di posizione cambia da r1 a r2 e il lo spostamento delle particelle è Δr.
Per trovare la velocità istantanea della particella, diciamo, istante t1 (quando il la particella è nella posizione 1), riduciamo l'intervallo Δt a 0. Mentre lo facciamo, il vettore r2 si sposta verso r1 e Δr si restringe. La direzione di Δr/Δt=vm è data dalla direzione di Δr .
Possiamo quindi dire che la direzione della velocità media vm si avvicina a direzione della linea tangente al percorso della particella in posizione 1. Assieme alla direzione, anche l'intensità della velocità media vm si avvicina all'intensità della velocità istantanea: v al tempo t1.

Al limite, Δt; → 0 abbiamo vm → v e, soprattutto, qui, vm assume la direzione della retta tangente alla traiettoria nel punto 1, quindi: v ha anch'essa quella direzione:

La direzione della velocità istantanea di una particella è sempre tangente alla percorso della particella nella posizione della particella.

Si puòscrivere l'eq. precedente in forma vettoriale      scrivendo così

   con i componenti scalari  

Cioè, dx/dt è il componente scalare di v lungo l'asse x, quindi possiamo trovare i componenti scalari di v differenziando i componenti scalari di r.

Nel disegno, si mostra un vettore di velocità v e i suoi componenti scalari x ed y. Nota che v è tangente al percorso della particella nella posizione della particella; esso rappresenta la direzione di marcia istantanea della particella che si trova sempre alla coda del vettore, e la sua lunghezza, che rappresenta l'intensità della velocità.

Accelerazione                

Quando la velocità di una particella cambia da v1 a v2 in un intervallo di tempo Δt, è la sua accelerazione media am durante Δt viene definita come

   ; facendo tendere Δt → 0 otteniamo la velocità istantanea

se la velocità cambia intensità oppure direzione (o entrambi) la particella deve avere una accelerazione.
Rispetto alle componenti scalari avremo
       che può essere riscritta come

  con

come nel caso della velocità il vettore accelerazione ha la coda del vettore collocato sul punto materiale in movimento.
Nel moto curvilineo la velocità cambia, in generale, sia in modulo (intensità) che in direzione. Il modulo della velocità varia in quanto si possono verificare sia delle accelerazioni che dei rallentamenti. La direzione della velocità cambia in quanto essa è tangente alla traiettoria e la traiettoria si incurva continuamente.

L'accelerazione è un vettore che ha la stessa direzione della variazione istantanea della velocità. Poiché la velocità cambia nella direzione in cui la traiettoria si incurva, l'accelerazione è sempre diretta verso la concavità della curva ed in generale non è ne tangente ne perpendicolare alla traiettoria. come si vede nel disegno riportato sopra.

Moto di proiettili        

Come si è detto moto di un proiettile sparato da un cannone con inclinazione data è un tipico esempio di moto curvilineo bidimensionale. In tal caso, il corpo mobile, sarà soggetto ad una spinta sia orizzontale che verticale, con l'ulteriore condizione che tale corpo, in senso verticale, è soggetto anche ad un moto uniformemente accelerato dato dalla forza di gravità con accelerazione g.

Supponendo di conoscere la velocità iniziale vo e l'angolo di inclinazione θ:

    con  

In questo tipo di moto la componente della velocità in orizzontale è un moto uniforme, mentre la componente verticale è un moto uniformemente accelerato influenzato dalla gravità g. Per tale componente useremo l'equazione che regola la velocità per il moto uniformemente accelerato:

   ovviamente poniamo to=0, mentre l'accelerazione a= - g.

Quando il proiettile arriva in A : voy=0 dato che voy=gt sarà passato un tempo t dato da     

Il tempo necessario affinché il proiettile arrivi in B si ottiene ponendo y=0 nella

La gittata OB si ottiene inserendo tale tempo nella

La gittata massima si ottiene per θ=45° derivando ed uguagliando a 0 l'equazione precedente. L'equazione della traiettoria si ottiene eliminando t dal sistema precedente:

 



       

45°
35 m/s
0 s
vox=24.74 m/s
voy=24.74 m/s
hmax=31.21 m
gittata=124.87 m
x=0 y=0 m