edutecnica

Forza elastica        

La forza elastica di una molla viene descritta dalla legge di Hooke:

La costante k si chiama costante elastica.

La forza F è riferita alla forza resistente della molla: essa è direttamente proporzionale all'allungamento subito dalla molla.

Si vede come applicando una forza agente F che tende ad allungare la molla nella direzione x positiva questa bilancia la forza elastica F, uguale e contraria alla precedente, propria della molla che si oppone allo spostamento; quindi se lo spostamento è positivo la forza elastica F ( evidenziata in rosso) è sempre diretta in direzione opposta ed è da considerarsi negativa.

Molle collegate in serie e in parallelo      

E' possibile collegare due molle in serie di costanti elastiche k1 e k2 come indicato in figura

Se consideriamo idealmente le due molle collegate come un'unica molla di costante k L'allungamento toltale sarà:

ma come nel caso delle funi in trazione ciascun tratto delle due molle sarà interessato dalla forza F .

                           sostituendo

       

Il comportamento delle molle è simile alla capacità C dei condensatori in elettrotecnica : la costante elastica di una molla formata da due o più molle in serie è minore della minore tra le molle che la costituiscono.

Nel caso delle due molle collegate in parallelo:

l'allungamento rispettivo sarà identico x1=x2=x.
Così sarà possibile scrivere:

considerando idealmente le due molle in parallelo, una unica molla di costante k

     

Energia potenziale elastica      

L'energia potenziale elastica di una molla deformata è uguale al lavoro compiuto dalla forza elastica quando la molla si riporta nella sua posizione di riposo.

Avevamo già messo in evidenza delle analogie fra dispositivi meccanici idraulici ed elettrici che qui sono riassunti:



Nota: l'energia potenziale per un recipiente idraulico di massa m deve essere

perché si pensa di concentrare il peso mg nel baricentro all'altezza h/2.

Cinematica della molla      

Dalla legge di Hooke si ha:

           cioè

si tratta di una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti la cui equazione caratteristica è la seguente

ha due radici complesse coniugate immaginarie pure   

ammette la soluzione generale    

per la velocità si vede come sia  

mentre per l'accelerazione   

per t=0 poniamo x=A ( allungamento ) e x'=0 si ha   

               più in generale si può scrivere

posizione [m]

pulsazione [rad/s]

periodo di oscillazione [sec]

ampiezza dell'oscillazione [m]

fase iniziale [rad]

nel caso del moto armonico di una molla vengono sempre, comunque, messe in evidenza

     e     

Oscillazioni smorzate      

Nella realtà l'equazione precedente deve essere modificata per far fronte all'eventuale presenza di attriti viscosi dell'atmosfera etc..

    

con β=coefficiente di attrito viscoso; l'equazione caratteristica è

dipende come si comporta il discriminante di questa equazione di secondo grado:

   moto sovrasmorzato le radici sono reali e distinte e la soluzione generale è:

Le due radici α1 ed α2 sono negative dunque    

  moto criticamente smorzato: in questo caso l'equazione caratteristica ha radici reali coincidenti

                la soluzione diventa              

la risposta è simile al caso precedente, lo smorzamento è ancora in grado di evitare le oscillazioni.

   moto debolmente smorzato: in questo caso le radici sono complesse coniugate

                con                          la soluzione generale è la seguente

anche in questo caso        ma si ha la presenza di oscillazioni inviluppate in una curva esponenziale decrescente.

Oscillazioni forzate      

In questo caso, oltre alla forza di richiamo kx e alla forza di smorzamento βx' si applica alla massa m una forza esterna F(t) .

  

si tratta di una equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine. Considerando una generica forza esterna di tipo periodico

con

                        che integrata fornisce la soluzione

Il moto è costituito da una combinazione fra un moto armonico smorzato che quindi scompare gradualmente ( transitorio ) ed un moto armonico persistente ( stazionario ). Dopo un certo tempo il solo moto rilevabile è quello stazionario.La condizione

E' chiamata condizione di risonanza, in corrispondenza della quale l'ampiezza delle onde è massima. Un esempio di oscillazioni forzate in presenza di attrito viscoso è riportato in questa pagina.

Molle a lamina      

Sono molle prismatiche ad un solo elemento,come disegnato in figura

molla a lamina o prismatica

sono incastrate ad un estremo mentre vengono caricate nell'estremo libero. Conoscendo il carico di sicurezza a flessione e le dimensioni della molla ( l=lunghezza,b=larghezza, h=spessore ) si può determinare il carico F applicando l'equazione di stabilità a flessione:

                    con                      

con σ=carico unitario di sicurezza a flessione, mentre il modulo di resistenza di flessione per una sezione rettangolare vale

                    sostituendo si ha

     

All'estremo libero si genera una deformazione (   freccia   ) di valore   

se la sezione è rettangolare il momento di inerzia è   

     

E= modulo di elasticità aflessione per gli acciai E=200.000÷210.000 N/mm2.

Il lavoro di deformazione è

     in questo caso l'allungamento x può essere identificato con la freccia f

              sostituendo

    

dove V è il volume della molla prismatica.

Molle a balestra      

Le molle a balestra sono le tipiche molle dei veicoli, costituite da uno strato di foglie metalliche sovrapposte, tenute insieme da una staffa centrale.

molla a balestra

La foglia più lunga costituisce la foglia maestra e alle sue estremità forgiate ad occhio viene applicato il carico. Normalmente per questo tipo di molla si usano le seguenti equazioni:

h=spessore della foglia [mm]
b=larghezza della foglia [mm]
f=freccia massima [mm]
z=numero delle foglie

Molle a torsione      

In questo tipo di molla la sollecitazione principale è dovuta ad un momento torcente. Il tipo più comune è la molla elicoidale a sezione circolare.

Sotto l'azione del carico F [N] la molla si comprime ed il filo è sollecitato a torsione da un momento torcente

dove con R si indica il raggio medio della molla.Dall'equazione di stabilità a torsione si ha

nell'effettivo dimensionamento e verifica di una molla elicoidale interviene un fattore di correzione, si usa infatti τmax. con

ψ=oefficiente di Wahl
R=raggio dell'elica
d=diametro del filo

questo perché deve essere tenuto conto della curvatura delle spire ed altri parametri.
Il dimensionamento e la verifica avviene dunque con la

il legame tra la freccia ed il numero delle spire può essere espresso dalla:

con G=modulo di elasticità a torsione :mediamente 80.000÷90.000 N/mm2.