edutecnica

Lavoro        

Quando su un corpo di massa m agisce una forza F di direzione ed intensità costanti, questo corpo subisce uno spostamento s.

Il lavoro di una forza F è definito come il prodotto dell'intensità della componente della forza, calcolata nella direzione dello spostamento, per lo spostamento del suo punto di applicazione.

In forma analitica viene espresso dal prodotto scalare tra il vettore F e lo spostamento s che sono due grandezze vettoriali

      [ J ]

dove θ è l'angolo formato tra i vettori F ed s.
Il lavoro è dunque una grandezza scalare e la sua unità di misura è il joule.
Il joule è il lavoro compiuto da una forza di un newton quando il suo punto di applicazione si sposta di un metro nella direzione e nel verso della forza.
Se la forza F ha una direzione diversa rispetto a quella in cui è possibile realizzare il moto, allora bisogna decomporre F e considerare solo la componente che ha la stessa direzione del moto.
Nel seguente disegno si vede che la forza F forma col piano di appoggio un angolo θ mentre il corpo può spostarsi solo in direzione dell'asse positivo della x.

Decomponiamo la F nelle due direzioni ortogonali x ed y.

La Fy viene equilibrata dalla reazione vincolare del piano assieme alla forza peso (nel disegno non rappresentata) queste forze non possono produrre dunque nessuno spostamento. La componente Fx parallela al piano, provoca invece il moto del corpo e dunque compie il lavoro

Se la forza motrice F fosse stata parallela al piano, cosθ=cos0°=1 ed avremmo semplicemente avuto

Il vettore peso, invece, potrebbe compiere lavoro solo nell'ipotesi che sia in grado di produrre moto in direzione verticale, come nel caso di un corpo che cade per gravità.

Nel seguente schema, trascinando la punta del vettore F (verde) e la punta del vettore s (rosso) si vede come viene ottenuta la componente che qui chiamiamo (impropriamente) Fx disegnata in viola che sarebbe la componente del vettore F nella direzione dello spostamento: il lavoro viene calcolato come L=F·s·cosθ =Fx·s.

Se al corpo è applicata anche una forza resistente R ad esempio dovuta all'attrito con

con f=coefficiente di attrito e p=mg=peso del corpo.
La forza resistente va considerata, infatti nell'ipotesi che sia F>R la forza che produrrà lo spostamento e quindi il lavoro sarà F-R, che è come dire che F produce un lavoro positivo ed R un lavoro negativo.
Si definisce lavoro motore (positivo) quello compiuto dalla forza motrice F , lavoro resistente (negativo) quello compiuto dalla forza resistente R.
In un moto di traslazione il lavoro motore uguaglia (almeno) il lavoro resistente, o meglio

Lm=Lr moto uniforme
Lm>Lr moto uniformemente accelerato
Lm<Lr moto uniformemente decelerato

Essendo il lavoro, ottenuto da una operazione di prodotto scalare, fissata una coppia di coordinate cartesiane x,y in concomitanza del punto di applicazione della forza, possiamo avvalerci della regola

dove Fx Fy sx ed sy sono le componenti dei vettori F ed s lungo gli assi coordinati. Anche in questo caso occorre trascinare la punta dei due vettori per cambiarne modulo e direzione.



F: θ: Fx: Fy:

s: φ: sx: sy:

Energia cinetica                                                    

Supponiamo che su un corpo inizialmente fermo agisca una forza per un dato intervallo di tempo t.
Sappiamo che il moto sarà accelerato con leggi

Il lavoro compiuto dalla forza si trasforma nell'energia cinetica

   [ J ]  dato che m=cost.     

Teorema delle forze vive: il  lavoro compiuto da una forza applicata ad un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica del corpo stesso .

La variazione di energia cinetica di un corpo è dovuta alla variazione di velocità.

Come si è potuto notare, il lavoro è misurato in joule come l'energia (energia cinetica) più in generale, si può dire che l'energia è la capacità di un sistema fisico di compiere un lavoro. Questa capacità, implica in ogni caso, la presenza di una forza in grado di eseguire uno spostamento, dato che soltanto il prodotto tra queste due grandezze può generare il lavoro meccanico.

Teorema dell'energia cinetica : se un corpo possiede una energia cinetica iniziale e su di esso agisce una forza che effettua un lavoro.
L'energia cinetica finale è uguale alla somma dell'energia cinetica iniziale e del lavoro conferito.

Energia potenziale                                                    

Il caso più comune di energia potenziale è l'energia potenziale gravitazionale.

Supponiamo che un corpo di massa m e di forza peso p=mg si debba spostare da un punto di partenza A fino ad un punto di arrivo B, dobbiamo tener conto che il vettore forza peso p è sempre diretto verso il basso, quindi, se eseguiamo il prodotto scalare

sia p che h hanno segno negativo perchè diretti in senso contrario alla direzione positiva degli assi y ed x (rispettivamente) del sistema di riferimento cartesiano.

Si può dimostrare che scegliendo arbitrariamente la posizione di A e B si arriva sempre allo stesso risultato L=mgh con h=Δy differenza tra l'altezza di A e quella di B, questo indipendentemente dal percorso (s) scelto.

Il fatto che il lavoro svolto dipenda esclusivamente dalla posizione iniziale e finale e non dal percorso eseguito permette di definire la forza peso come una forza di tipo conservativo; infatti:

Una forza è conservativa se il lavoro che essa fa nello spostamento dal punto iniziale a quello finale dipende solo dalle coordinate di questi due estremi e non dal particolare percorso eseguito nello spostamento.

Non tutti i tipi di forza sono conservativi, ad esempio la forza di attrito non è conservativa: dipende dal percorso eseguito (e sopratutto dalla sua lunghezza). La forza di attrito viene per questo motivo definita come una forza dissipativa. Detto ciò, la formula

  [ J ]     definisce l'energia potenziale gravitazionale di un corpo

L'energia potenziale gravitazionale di un corpo è il lavoro compiuto dalla forza peso quando questo si sposta da una posizione iniziale ad una finale.

Principio di conservazione dell'energia                                                    

Questo principio può essere espresso nel modo seguente : la somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica possedute da un corpo è costante.

    o anche     

Epi=energia potenziale iniziale
Eci=energia cinetica iniziale
Epf=energia potenziale finale
Ecf=energia cinetica finale
ET=energia totale

Il principio è puramente teorico si riferisce ad un sistema isolato dove siano presenti solo forze conservative.

Lavoro di una coppia                                                    

Prendiamo un corpo per semplicità cilindrico inizialmente fermo ipotizzando che ruoti attorno al proprio asse sotto l'effetto di una forza periferica F percorrendo uno spazio angolare θ in un tempo t con moto accelerato .

essendo    s=θ·r     viene eseguito un lavoro

      ma M=Fr dunque   

    [ J ]

Nel moto rotatorio, il lavoro espresso dal momento motore è il prodotto del momento stesso per la spazio angolare θ [rad] percorso.

Energia cinetica di rotazione                                                    

L'energia cinetica di rotazione non può essere espressa con la formula Ec=1/2mv2 già ottenuta per il moto di traslazione; ma se immaginiamo che un corpo rotante possa essere decomposto in tanti elementi infinitesimali di massa mi le cui velocità periferiche sono diverse tra loro, partendo dalla stessa formula, sapendo che per l'i-esimo elemento la velocità è vi=ωri con ω velocità angolare [rad/s].

                  

facendo la sommatoria estesa a tutti gli elementi

      

con J=momento di inerzia del corpo rispetto al proprio asse di rotazione.

La formula suddetta può anche essere ricavata dall'equazione fondamentale del moto rotatorio dove appare l'accelerazione angolare α

dove θ è l'angolo di rotazione eseguito nel tempo t; dalla formula del lavoro sapendo che la velocità angolare è ω=αt

Il lavoro sviluppato dal momento motore M si converte così in energia cinetica di rotazione    

Moto rototraslatorio                                                    

Nel caso del moto rototraslatorio la situazione è leggermente più complessa.

Ipotizziamo un cilindro che rotola lungo un piano inclinato scendendo da una altezza h fino al piano orizzontale , esso sarà dotato di una energia cinetica di traslazione

    e di una energia cinetica di rotazione     

il principio di conservazione dell'energia diventa

ricordandosi che   

mentre se il corpo fosse stato un generico parallelepipedo in moto traslatorio

avrebbe raggiunto alla fine della discesa una velocità decisamente maggiore

Potenza                                                    

Il lavoro è dunque una forza per uno spostamento. Per come è stato definito, il lavoro compiuto da una forza, è indipendente dal tempo impiegato per eseguire lo spostamento; eppure anche intuitivamente si comprende che a parità di forza applicata c'è una certa differenza tra far percorrere al corpo 200m in 20 secondi e percorrere la stessa distanza in un'ora. Chiaramente, la resa del lavoro è maggiore quanto minore è l'intervallo di tempo in cui viene svolto. Per misurare la rapidità con cui una forza compie un lavoro viene definita la potenza.

    [W] (watt=joule/sec)

Bisogna notare che dal punto di vista dimensionale è

   

con vm=velocità media che se il moto è accelerato è data da   

Per qualificare l'efficienza di una macchina viene, inoltre, introdotta la nozione di rendimento η.

Pa=Pp+Pu=potenza assorbita
Pp=potenza persa
Pu=potenza utile

Nel caso di una coppia avremo

     

questo perchè, per definizione di velocità angolare   

Nel moto rotatorio la potenza sviluppata da una coppia è data dal prodotto del suo momento per la velocità angolare. Nelle applicazioni pratiche dove la velocità angolare si misura in n [giri/min] dobbiamo ricordare che

      quindi     

   oppure     

riassumendo

 Moto traslatorio

 Moto rotatorio

 Legge del moto

 Teorema della quantità di moto

 Lavoro

 Potenza

 Energia cinetica