edutecnica

Travi inflesse        

Consideriamo una generica trave di lunghezza l, incernierata ad un estremo e appoggiata sull'altro. La cerniera A, ha due gradi di vincolo, l'appoggio B introduce un solo grado di vincolo. Normalmente il problema viene inquadrato tramite le equazioni cardinali:

Nel nostro caso, fulcrando (arbitrariamente) nella cerniera in A, avremo:

Consideriamo, ora, una generica sezione S del tratto AC posta ad una distanza da A, rispetto A.
Questa, la trave risulta divisa in due tronchi. Si può pensare che il 2°tronco sia idealmente incastrato nel 1°tronco, perciò, sulla sezione S del secondo tronco evidenziamo le tre reazioni vincolari NS, TS ed MS che caratterizzano un incastro.
Ovviamente, sul 1°tronco agiranno delle reazioni vincolari uguali e contrarie. Se scriviamo le equazioni di equilibrio per il 1°tronco:


1°tronco

2°tronco

Notiamo che per il 2°tronco:

Per cui i valori delle sollecitazioni associate alla generica sezione S, coincidono sia per il 1° che per il 2°tronco: è indifferente considerare l'uno o l'altro.

Le cose cambiano considerevolmente se la sezione S viene posta a destra del carico q. Usiamo stavolta solo il 2°tronco:

Osserviamo il valore di MS in corrispondenza di q con

eq. a sinistra di q

eq. a destra di q

Il momento a destra di una sezione è uguale al momento a sinistra della stessa sezione, indipendentemente dai carichi (a patto che alla sezione non vengano applicate coppie).

La stessa cosa non può dirsi per la sollecitazione di taglio, infatti:

eq. a sinistra di q

eq. a destra di q

Il taglio a sinistra della sezione di applicazione del carico è diverso dal taglio a destra della stessa sezione.

Si possono riportare e in forma grafica queste considerazioni per i tre sforzi N,T ed Mf.

Sforzo normale N

Se i carichi sonno applicati tutti ortogonalmente alla trave lo sforzo normale è nullo lungo tutto il tratto l. Se i carichi non soddisfano a questa condizione le cose cambiano.

In questo caso a destra del punto di applicazione del carico la trave risulta sollecitata a compressione considerato convenzionalmente negativo.

Quindi, si associa convenzionalmente segno positivo alle trazioni e negativo alle compressioni. I valori positivi sono sopra la retta rappresentativa la trave, quelli negativi sotto.

Taglio T

Dalle valutazioni viste risulta:

a sinistra del carico applicato

a destra del carico applicato

Per lo sforzo di taglio vale la seguente regola:in corrispondenza di forze concentrate il salto dal valore precedente al valore seguente è pari all'intensità della componente verticale del carico concentrato.

Quindi, lo sforzo di taglio è considerato positivo se sposta verso il basso la parte destra della trave rispetto a quella di sinistra . I valori positivi sono sopra la retta rappresentativa la trave, quelli negativi sotto.

Nella pratica per valutare lo sforzo di taglio, si parte sempre dall'estremo sinistro della trave e si va verso destra, considerando positivi gli sforzi che vanno verso l'alto e negativi gli sforzi che vanno verso il basso.

Momento flettente Mf

Per disegnare il diagramma, si parte valutando il valore del momento in corrispondenza dei vincoli; in questo caso è zero. per proseguire fino in corrispondenza dei vari carichi concentrati, ad esempio nel nostro caso, il massimo valore del momento si avrà in corrispondenza del carico q.

Quindi, se è la parte inferiore della trave ad allungarsi e la parte superiore a contrarsi si ha un valore positivo.

Convenzionalmente il diagramma del momento è positivo sul lato delle fibre estese; quindi sarà disegnato nella parte inferiore la retta rappresentativa la trave se positivo, nella parte superiore in caso contrario.

Nell'esempio in figura il carico q=10N e le distanze sono espresse in metri: disegna i diagrammi degli sforzi.

Sia l'appoggio che il carrello reagiscono con un'unica reazione vincolare. Non ci sono componenti orizzontali sia delle forze attive che di quelle reattive. Le equazioni di stabilità, sono, dunque, due: (fulcrando in A)


Valutiamo, ora, i momenti flettenti nelle sezioni A, C e B considerando sempre e soltanto i momenti a sinistra della sezione.

Ad un identico risultato si arrivava considerando i momenti a destra delle sezioni traversali in A, C e B.

Se pensassimo di usare una IPN80 in Fe390 che ha un Wx=19.400 mm3

resiste sicuramente al momento flettente.

Gli sforzi di taglio in qualsiasi sezione della trave sono dati dalla somma algebrica delle forze che stanno da una stessa parte della sezione considerata (comprese le reazioni vincolari) col segno + se vanno verso l'alto (si parte sempre da sinistra).

Dal manuale di meccanica, otteniamo che una IPN80 ha una sezione S=757mm2 ad essa deve essere applicato un:

quindi il massimo sforzo di taglio che può essere sopportato in condizioni di sicurezza è

           per cui, la trave resiste al taglio in modo egregio.

Carichi distribuiti

Osserviamo la trave di lunghezza l (m) indicando il carico distribuito Q (N/m) .

L'intero carico che dovrà sopportare la trave sarà:

Le reazioni vincolari dovranno essere        

Valutiamo,ora, il momento flettente in una generica sezione S distante x dal vincolo A:

(eq.di II°grado)

Intuitivamente il momento flettente centrale dovrebbe essere il massimo

quindi nel caso del carico distribuito    

Nelle altre sezioni il momento flettente va diminuendo, fino ad annullarsi sugli appoggi.

In una qualsiasi sezione della trave, il momento flettente è espresso da un'equazione di secondo grado e il diagramma risultante è costituito da una parabola.

Tornando ad osservare il tronco sinistro della generica sezione S considerando positive le sollecitazioni che vanno verso l'alto.

      quindi            

per x=0 si ha T=q/2 per x=l si ha     

Esempio

Calcolare le dimensioni di una IPN in Fe360 lunga 5m sollecitata da un carico uniformemente distribuito di Q=1000daN, appoggiata ai suoi estremi; fare anche la verifica al taglio.

Soluzione

Il carico distribuito Q corrisponde ad un carico concentrato q=Ql=5000daN concentrato al centro della trave.

Le reazioni vincolari sono       

Il momento flettente centrale è dato da       ma

per Fe360 si ha    

la IPN80 ha un Wx=19400mm3 noi prendiamo una IPN100 che ha un Wx=34100mm3 e dovremmo essere a posto.

Ora devo trovare T, in questo caso il massimo sforzo di taglio lo si ha agli estremi vincolati:

IPN100 ha superficie trasversale S=10,6cm2=1060mm2. Si ha uno sforzo unitario:

per Fe360      

lo sforzo unitario a cui è sottoposta la trave per effetto della sollecitazione al taglio è inferiore allo sforzo unitario nominale per il ferro considerato. La struttura è verificata anche per il taglio.