Esercizio 24

Una fune uniforme di massa m e lunghezza L pende dal soffitto.
Mostrare che la velocità di un'onda trasversale sulla fune è una funzione di y, calcolare poi il tempo impiegato dall'onda per percorrere la la lunghezza della fune.

Soluzione

La velocità dell'onda in qualsiasi punto della corda è data da $v=√{τ/μ}$ , dove $τ$ è la tensione in quel punto e $μ$ è la densità di massa lineare.

Poiché la corda è sospesa, la tensione varia da punto a punto. Consideriamo un punto della corda a una distanza y dall'estremità inferiore.
Le forze che agiscono su di esso sono il peso della corda sottostante, che tira verso il basso, e la tensione, che tira verso l'alto.
Poiché la corda è in equilibrio, queste forze si bilanciano. Il peso della corda sottostante è dato da $4μgy$, quindi la tensione è $τ=μgy$.
La velocità dell'onda è dunque :

$$v=√{{μgy}/μ}=√{gy}$$

Il tempo dt per il passaggio dell'onda a una lunghezza dy, a una distanza y dall'estremità inferiore, è

$$dt={dy}/v={dy}/√{gy}$$

e il tempo totale per il passaggio dell'onda per l'intera lunghezza della corda è dato dall'integrale:

$$t=∫^t_0{dy}/√{gy}=2[√{y/g}]_0^t=2√{L/g}$$