Esercizio 15

Un'onda vibra lungo una corda con equazione:

$y(x,t)=(0,00327 m)sin(72,1x-2,72t)$

Dove i valori indicati hanno unità di misura conformi all'SI.
Calcolare la velocità trasversale u e l'accelerazione trasversale $a_y$ di un elemento di corda nel punto x=22,5 cm all'istante t=18,9 s.

Soluzione

La velocità trasversale u è il rapporto temporale di variazione dello spostamento y di un elemento di corda . L'equazione è del tipo:

$y(x,t)=y_m sin(kx-ωt)$

Il rapporto cercato si ottiene derivando l'equazione precedente rispetto al tempo mantenendo costante x. Questo tipo di derivata in cui alcune variabili sono mantenute costanti è detta derivata parziale e si indica col simbolo ∂/∂t invece che d/dt. Si ha dunque

$u={∂y}/{∂t}=-ωy_m cos(kx-ωt)$

sostituendo i valori numerici

$u=(-2,72)(0,00327)cos[(72,1)(0,225)-(2,72)(18,9)]$

$u=0,0072 m/s= 7,2 mm/s$

per calcolare l'accelerazione nello stesso istante dobbiamo derivare ulteriormente rispetto al tempo la velocità trasversale u dell'onda.

$a_y={∂u}/{∂t}=-ω^2y_m sin(kx-ωt)$

introducendo i valori numerici otteniamo:

$a_y=-(2,72^2)(0,00327)sin(72,1·0,225-2,72·18,9)$

$a_y=-0,0142 m/s^2=-14,2 mm/s^2$

Data la presenza del segno - (meno) deduciamo che l'elemento di corda considerato sta rallentando perchè l'accelerazione è opposta al verso di u.