edutecnica

Deformazione per flessione       

La deformazione per flessione è caratterizzata da due fondamentali parametri

1) Rotazione dell'asse geometrico della trave rispetto alla configurazione indeformata

rotazione sui vincoli

la rotazione è misurata dal valore dell'angolo φ che la tangente all'asse deformato della trave forma con l'asse rettilineo originario; notiamo che il massimo valore di rotazione si ha in corrispondenza delle sezioni dell'estremità della trave .

2) Abbassamento dell'asse geometrico della trave

freccia di inflessione

misurato ortogonalmente all'asse rettilineo originario, dalla distanza di quest'ultimo da quello deformato. l'abbassamento massimo, viene chiamato freccia elastica.

Trave a mensola                                          

Coppia applicata all'estremo libero       

Ipotizziamo una trave a mensola soggetta ad una coppia di momento M nel suo estremo libero

siano y e z assi principali di inerzia. Sia E il modulo di elasticità e J il momento di inerzia rispetto all'asse neutro.

E' possibile dimostrare che in un prisma sottoposta a flessione retta, due sezioni distanti tra loro la distanza (infinitesima) dx ruotano una rispetto l'altra di un angolo

            

dove M è il momento flettente applicato.
Immaginiamo questo sia l'unico elemento soggetto a deformazione in una trave a mensola caricata all'estremo libero, avremo la situazione qui sotto rappresentata

dove le variazioni dell'angolo φ e della freccia f sono rappresentati come differenziali

La formula df=xdφ è chiaramente legata alla approssimazione che per piccoli angoli prevede s=xφ≅f=x·sinφ

cioè che la lunghezza della corda sottesa ad un arco di circonferenza può essere considerata uguale alla lunghezza dell'arco stesso. Integrando su tutta la lunghezza l dell'asta

           mentre essendo

     si ha in termini finiti

Carico concentrato all'estremità       

Le considerazioni suddette si possono applicare anche nel caso di altre eventualità

     

in modo analogo si trova il valore della rotazione attorno all'incastro

Carico uniformemente distribuito       

In questo caso siamo in presenza di un momento flettente che varia lungo il profilo con legge parabolica

            

       

mentre per la rotazione si ha

        

 

Trave appoggiata                                          

Coppia applicata ad un estremo       

In questo caso è possibile dimostrare che è

                         

Coppie applicate sugli appoggi       

Per questa eventualità avremo

          

Carico concentrato in mezzeria       

In questo caso la trave appoggiata ha un comportamento che può essere assimilato ad una trave a mensola lunga la metà della trave appoggiata e soggetta ad un carico che è la metà di quello originario. Vale dunque la formula

    sostituendo F con F/2 e l con l/2 si ottiene     

la rotazione di appoggio viene ottenuta in modo analogo basandosi sulla

    

Carico uniformemente distribuito       

Anche questa situazione la mezzeria della sezione può subire solo abbassamenti ma non può ruotare. Osservando i disegni sotto , si vede come sia possibile dedurre la freccia di abbassamento riferendosi al caso della trave a mensola come somma algebrica degli effetti del carico distribuito e del carico concentrato assimilabile alla reazione vincolare.

riferendosi alla trave a mensola con carico distribuito; basta sostituire ad l l/2; dunque:

              cioè

              mentre è

considerando invece esclusivamente il carico concentrato ql/2 (al posto di F) ed l/2 al posto di l.

    mentre per la rotazione è

   sommando algebricamente i risultati

       

      

 

Negli esercizi svolti una certa rilevanza ha la configurazione della trave appoggiata con carico distribuito uniformemente solo su una parte della lunghezza, la cui freccia massima individuata dalla formula

se invece il punto di applicazione del carico concentrato è generico

Per la trave a mensola con carico distribuito su una parte della lunghezza

la formula da applicare per trovare la freccia massima è         

Per una trave a mensola con carico concentrato in un punto generico

Si intuisce come siano possibili numerose eventualità; alcune delle quali sono riportate nel prontuario di costruzioni.