Cinematica

Si dice che un oggetto è in moto rispetto ad un altro, quando la sua posizione misurata rispetto ad un secondo corpo cambia nel tempo. Se questa posizione non cambia l'oggetto è in quiete relativa. La quiete e il moto sono concetti relativi.

Un corpo dotato di movimento è detto mobile; la linea percorsa da tale corpo è detta traiettoria.
Si ha moto rettilineo quando la traiettoria è una linea retta, si ha moto curvilineo quando la traiettoria è una linea curva; quando la traiettoria è un cerchio si ha il moto circolare rotatorio.
Si ha moto continuo quando il corpo mobile si muove sempre nello stesso senso, si ha moto alternativo quando il corpo mobile inverte successivamente il movimento.
Lo spazio è la lunghezza della traiettoria percorsa dal corpo in movimento. Il tempo è la durata del moto di un corpo. La velocità è lo spazio percorso nell'unità di tempo. Se la velocità si mantiene costante durante tutto il percorso si ha moto uniforme; se invece la velocità è variabile, si ha moto vario.

Moto rettilineo uniforme

Un corpo mobile si muove di moto uniforme quando la sua velocità è costante, cioè quando percorre spazi uguali in tempi uguali.

x= spazio [ m ]
t= tempo [ s ]
v= velocità [ m/s ]
Il moto vario è caratterizzato da una velocità variabile.
In questo caso, non avendo la velocità istantanea si considera la velocità media vm come rapporto fra lo spazio e il tempo.

Più precisamente supponendo che l'asse OX coincida con la traiettoria.

Se l'oggetto si trova nella posizione A ( distanza x rispetto all'origine O) al tempo t mentre la sua posizione è B (distanza x' rispetto ad O) al tempo t'; la velocità media fra A e B è definita da:

La velocità media durante un certo intervallo di tempo è uguale allo spostamento medio per unità di tempo durante l'intervallo di tempo stesso Per determinare la velocità istantanea nel punto A, dobbiamo prendere l'intervallo di tempo Δt più piccolo possibile, in modo che non avvengano essenzialmente variazioni nello stato di moto durante l'intervallo di tempo stesso; dal punto di vista matematico.

otteniamo, in tal caso la velocità istantanea. Se conosciamo il legame tra velocità e tempo: v=f(t) possiamo risolvere l'eq.precedente rispetto a x mediante integrazione infatti scrivendo dx=v dt; nel caso del moto rettilineo uniforme , v=cost.

cioè: x=x_o+v(t - t_o) ovviamente se assumiamo che la posizione iniziale x_o=0 e che il tempo iniziale sia t_o=0, riotteniamo l'espressione iniziale:

Moto uniformemente accelerato

Il moto vario si dice accelerato quando la velocità aumenta, è invece ritardato quando la velocità diminuisce .

L'accelerazione è l'aumento della velocità nell'unità di tempo. La decelerazione è la diminuzione della velocità nell'unità di tempo, può essere considerata un'accelerazione negativa. Senza considerare l'analisi matematica l'accelerazione viene definita come :
con
v_o=velocità iniziale
t_o=tempo iniziale
se v_o=0 e t_o=0 risulta:

[ m/s²] quindi:

con le stesse ipotesi, la velocità media è che se v_o=0 diventa: cioè

sapendo che lo spazio percorso è pari alla velocità media per il tempo:

                      ( partendo da fermi )

Per l'analisi matematica, la velocità di un corpo è funzione del tempo. Se la velocità rimane costante il moto si dice uniforme. Supponendo che all'istante t l'oggetto si trova in A con velocità v e che all'istante t' sia in B con velocità v l'accelerazione media fra A e B è definita :

Così l'accelerazione media durante un certo intervallo di tempo è la variazione della velocità per unità di tempo durante l'intervallo di tempo stesso.

L'accelerazione istantanea è il valore limite dell'accelerazione media quando l'intervallo Δt diventa piccolo a piacere.

cosicché abbiamo ottenuto l'accelerazione istantanea calcolando la derivata della velocità rispetto al tempo.

In generale l'accelerazione varia durante il moto.
Se in un moto rettilineo l'accelerazione è costante il moto si dice uniformemente accelerato.

Se conosciamo l'accelerazione possiamo calcolare la velocità integrando l'equazione precedente:

                       essendo v_o la velocità all'istante t_o;

dato che          abbiamo:
dall'equazione precedente (integrando) supponendo il tempo iniziale t_o=0
      avremo poi:

spazio nel moto rettilineo uniforme

qualora la velocità non fosse uniforme ma ci fosse una accelerazione 'a':

                 nell'ipotesi di considerare t_o=0

                velocità nel moto uniformemente accelerato

sapendo che
          avremo:

ponendo x_o=0 e t_o=0.
Se il moto uniformemente accelerato si verifica quando è in corpo è dotato già di moto uniforme, con velocità v_o .

            spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato

Il segno è positivo se il moto è accelerato negativo nel caso di moto ritardato.

Nel caso di un corpo che cade per gravità al suolo (caduta di un grave) si ha un moto uniformemente accelerato con accelerazione g= 9,81 m/s².



      se la velocità iniziale v_o=0

Con h altezza della caduta; essendo     avremo:
      In definitiva sarà:

Combinando due delle formule precedentemente trovate per il moto uniformemente accelerato è possibile ottenere una importante relazione che lega tra loro velocità, spazio e accelerazione, indipendentemente dal tempo.

sostituendo questa espressione del tempo nella prima equazione del sistema si avrà

si ottiene dunque

Ricordiamoci poi, che se tra le due formule del moto rettilineo

eliminiamo l'accelerazione

otteniamo un'ulteriore utile relazione