edutecnica

Momento statico di figure piane        

Ipotizziamo una generica superficie di area A e supponiamo che questa possa essere suddivisa in un grande numero di piccole aree elementari ai , ipotizziamo,inoltre, una retta r complanare con la superficie data.

Si definisce momento statico S della superficie assegnata rispetto alla retta r, la somma algebrica dei prodotti delle aree elementari ai per le rispettive distanze yi dalla retta r

questa grandezza è dimensionalmente una lunghezza al cubo, dunque secondo il Sistema Internazionale andrà misurata in m3.

Il momento statico può assumere valori negativi, positivi o nulli in relazione alla posizione della retta rispetto la superficie.

Il momento statico è positivo quando la retta è esterna alla superficie.

Il momento statico può risultare negativo quando la retta interseca la superficie ed i prodotti negativi sono più numerosi dei prodotti positivi.Il momento statico è nullo quando i prodotti negativi uguagliano quelli positivi.

Per il momento statico di una superficie vale il teorema di Varignon

A : area totale della superficie
d : distanza del baricentro della superficie G e la retta considerata

Se il momento statico di una superficie, valutato rispetto ad una retta r si annulla

e non essendo nulla l'area A questa relazione può essere soddisfatta solo per d=0 quindi la retta r passa per il baricentro della figura piana.

Il momento statico di una superficie calcolato rispetto ad un qualsiasi asse baricentrico ha valore nullo.

Questo dato può essere usato per la determinazione analitica del baricentro di una figura piana.

Prefissiamo un sistema di assi cartesiani di riferimento e calcoliamo i momenti statici rispetto all'asse x e all'asse y

dal teorema di Varignon si ottengono le coordinate del baricentro

Nelle applicazioni pratiche le aree elementari ai sono le aree in cui si può decomporre la superficie assegnata e le rispettive distanze yi sono misurate dai baricentri di queste aree fino alla retta considerata come illustrato nel disegno qui sotto:

Esempio: Calcolare il baricentro della seguente figura piana

Scegliamo opportunamente la coppia di assi cartesiani come disegnato sopra. Si nota come l'intera sagoma sia simmetrica rispetto all'asse y dunque il baricentro si troverà su quell'asse. Per calcolare la coordinata yo del baricentro usiamo la formula

 

Baricentri di linee                                     

Nel calcolo dei baricentri si possono presentare diverse eventualità, a partire dai baricentri delle linee

Per un segmento rettilineo il baricentro è evidentemente nel mezzo del segmento stesso.

Per un arco di circonferenza è possibile dimostrare che la posizione del baricentro è

                     dove R è il raggio dell'arco.

Nel caso di un segmento di parabola, il baricentro si trova sull'asse di simmetria ad una distanza yo=0,4h dalla base

Baricentri di superfici                                           

Per quello che riguarda le figure geometriche, ovviamente, si ha che per il rettangolo, il quadrato, il cerchio, il parallelogramma ed il rombo il baricentro G si trova nel punto di incontro dei due assi di simmetria

Nel caso del triangolo, il baricentro si è nel punto di incontro delle mediane; la sua distanza da un lato considerato come base è 1/3 dell'altezza.

Per il settore circolare è possibile dimostrare che la posizione del baricentro è   

Baricentro di solidi                                     

Il termine baricentro sarebbe improprio per le superfici, nel loro caso si dovrebbe parlare di 'centro di superficie', infatti solo i corpi solidi possiedono un baricentro effettivo che costituisce il punto nel quale è applicato il peso del corpo.

Quando si considerano dei corpi solidi bisogna tener conto anche del loro spessore (sp) e della loro densità ρ.

in tal modo possiamo esprimere il peso p come

dove g=9,81 m/s2 (acc.di gravità)

L'individuazione di un baricentro composto da varie sagome viene ricondotto al calcolo della posizione risultante di più forze concorrenti parallele concordi o discordi.

Ad esempio la piastra metallica qui sotto disegnata può essere immaginata composta da due elementi: il rettangolo di a×b e il triangolo di altezza c.
Si individuano i due baricentri G1 per il rettangolo e G2 per il triangolo; in questi punti sono applicati rispettivi pesi p1 e p2 di questi elementi.

si osserva la distanza tra i due baricentri parziali      

dove è evidente la possibilità di impostare la proporzione

Anche nel caso non in cui i baricentri parziali non si trovino su alcun asse di simmetria

deve essere rispettata la proporzione  

Questa tecnica può essere applicata anche in modo 'opposto'

dove la posizione della risultante p può essere ottenuta osservando:

      

con   

Analisi matematica                                     

Dal punto di vista della matematica analitica il baricentro di un sistema continuo può essere individuato attraverso la seguente procedura.
Il sistema S è definito come

dove B indica la regione di spazio occupata dal sistema mentre ρ è la densità; quest'ultima è , in generale, una funzione del punto P(x,y,z) e il suo integrale su dominio B fornisce la massa del sistema

nel caso si abbia un sistema omogeneo ρ=costante, la relazione precedente diventa

Lo spazio B può essere una lunghezza, una superficie o un volume.
Il generico punto P∈B del sistema può essere individuato dal vettore

         

prefissata una terna cartesiana di riferimento. Il centro di massa del sistema S è il punto definito dal raggio vettore

     equivalente alle     

nel caso di sistema omogeneo la formula precedente si semplifica

    e dunque si ha    

ad esempio nel caso del segmento rettilineo sarebbe

                 

con zo=0 ed yo=0 perchè lo consideriamo uno spazio monodimensionale.
Nel caso di un rettangolo omogeneo di area A=b·h si ha

            

Nel caso di un triangolo rettangolo (sempre omogeneo)

       

Nel caso di un parallelepipedo omogeneo si ha