Momento angolare di una particella
Il momento angolare è una grandezza fisica vettoriale caratteristica del moto rotatorio in stretta analogia con la nozione di quantità di moto che si ha nei moti di traslazione.
Il momento angolare l→ di una particella dotata di una quantità di moto p→, massa m e velocità v→ è una grandezza vettoriale definita rispetto ad un punto fisso (O) che vale
dove r→ è il vettore posizione della particella riferito all'origine O. Quando la particella si sposta rispetto ad O, nella direzione della sua quantità di moto p→=mv→, il vettore posizione r→ ruota attorno ad O, anche se per calcolare il momento angolare, non è necessario che la particella ruoti effettivamente attorno ad O.
l'intensità del momento angolare l→ di una particella può essere espressa da una qualsiasi delle seguenti relazioni
con θ è l'angolo minore tra le direzioni di r→
e p→. Con p⊥ la componente di
p→ perpendicolare a r→
e v⊥ la componente di v→ perpendicolare
ad r→. Mentre r⊥ è la distanza,
misurata perpendicolarmente, del punto fisso O dalla linea di azione cui
appartiene il vettore p→.
Il momento angolare è un prodotto vettoriale. Ricordiamo che il prodotto
vettoriale appena descritta:
l→=r→×p→
è una operazione che associa ai due vettori r→
e p→ un terzo vettore l→
che ha direzione perpendicolare al piano definito dalla giacitura di r→
e p→ e verso individuato dalla regola della
mano destra .
Dopo aver collocato i vettori r→ e p→ con le code coincidenti, senza variare il loro orientamento, si immagini di collocare una retta perpendicolare al piano da essi individuato condotta nel punto di incontro tra le code dei due vettori.
Il verso del vettore risultante l→ deve essere tale che dalla sua punta si possa veder ruotare il vettore r→ verso il vettore p→ in senso antiorario, coprendo l'angolo minimo.
Seconda legge di Newton in forma angolare
La seconda legge di Newton può essere riscritta nella forma.
La derivata rispetto al tempo della quantità di una particella è uguale
alla forza risultante agente sulla particella.
In base a quest'ultima uguaglianza avremo
La derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto di una particella, rispetto ad un punto arbitrario è uguale al momento totale, rispetto allo stesso punto delle forze esterne agenti sulla particella stessa.
Momento angolare di un sistema di particelle
Il momento angolare L di un sistema di particelle è la somma vettoriale dei momenti angolari delle singole particelle:
la derivata rispetto al tempo di questo momento angolare è uguale alla somma dei momenti delle forze esterne che agiscono sul sistema, ossia dei momenti dovuti a interazioni fra particelle del sistema e altre particelle esterne al sistema, purché l'origine sia un punto fisso o il centro di massa. Quindi si ha
Momento angolare di un corpo rigido
Per un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso, la componente del momento angolare parallelo all'asse di rotazione è
(corpo
rigido che ruota attorno ad un asse fisso)
Conservazione del momento angolare
Il principio di conservazione del momento angolare afferma che: il momento angolare L→ di un sistema rimane costante se il momento netto delle forze esterne che agiscono sil sistema è zero:
(per
un sistema isolato)
cioè
(sempre
per un sistema isolato)
A tal proposito sappiamo che a parità di massa totale il momento di inerzia aumenta al crescere delle dimensioni del corpo. Un fenomeno correlato, facilmente osservabile, è quello pattinatrice che aumenta la propria velocità angolare di rotazione attorno al proprio asse verticale quando avvicina le braccia al corpo.
Infatti, avvicinando le braccia al corpo si modifica la distribuzione geometrica della massa della pattinatrice facendone diminuire il momento di inerzia. Per il principio di conservazione appena formulato deve aumentare la velocità angolare della pattinatrice stessa per mantenere costante il momento angolare L→.