edutecnica

Formulario di trigonometria          

Sistema di riferimento per gli angoli

Disegniamo una circonferenza con centro O nell'origine di due assi cartesiani ortogonali orientati x ed y.
Sulla circonferenza consideriamo il punto A, intersezione col semiasse x positivo; assumiamo il punto A come origine degli archi.
Consideriamo poi un angolo qualsiasi θ che abbia il suo vertice coincidente con l'origine O degli assi e il suo primo lato sul'asse delle ascisse, che viene detto origine degli angoli.
E' convenzione considerare gli angoli sempre secondo questa disposizione, fissando come positivo, il verso di rotazione antiorario (inverso al movimento delle lancette dell'orologio) come positivo.


La convenzione, vuole che la circonferenza con centro nell'origine della coppia di assi cartesiani venga suddivisa in 4 zone chiamate quadranti, anche l'ordine di dispozizione dei quadranti segue la regola del senso antiorario come si vede nel disegno.

Gradi e radianti

Noi, usiamo frequentemente misurare l'ampiezza degli angoli secondo il sistema sessaggesimale da 0 a 360

questa non la misura ufficiale degli angoli; pi rigorosamente un angolo deve essere misurato in radianti

L = lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso all'angolo θ
R = raggio della circonferenza

questa definizione, nel caso della circonferenza trigonometrica con R=1, comporta che il valore dell'angolo in radianti coincida con il valore della lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo stesso. Sappiamo che la lunghezza di una circonferenza C=2πR. Quindi nella circonferenza trigonometrica (R=1):

angolo giro = 2π radiandi
angolo piatto = π radianti
angolo retto = `pi/2` radianti

Questo quadro di cose non cambia anche se il cerchio non fosse a raggio unitario, perch il rapporto `L/R` non varia al variare della circonferenza ma dipende solo dall'angolo θ. E' dunque facile costruire la proporzione che lega tra loro gradi e radianti:

se conosciamo θ troviamo

se conosciamo θrad troviamo

Gli angoli notevoli in gradi e radianti sono qui sotto rappresentati. E' anche disponibile un riassunto sul cerchio trigonometrico.

Funzioni Trigonometriche

Su un piano cartesiano, costituito da due assi ortogonali, tracciamo una circonferenza di raggio R con centro nell'origine O della coppia di assi. Scegliamo arbitrariamente un punto P sul I quadrante della circonferenza il raggio

Il raggio R = OP determina un angolo θ con l'asse x delle ascisse.
Definiamo il punto H come la proiezione ortogonale di P sull'asse y delle ordinate.
Definiamo il punto T come la proiezione ortogonale di P sull'asse x delle ascisse.
Potranno essere individuati i due segmenti:
a=OT=PH     e     b=OH=PT   , definiamo:

nel caso sia il raggio R=1 si riconosce che:

una circonferenza di raggio unitario (R=1) viene chiamata circonferenza trigonometrica o circonferenza goniometrica.

Variazioni del seno

Nel cerchio trigonometrico di raggio 1:

Se θ=0 si ha b=sinθ=0

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in sento antiorario (convenzionalmente positivo)

Se 0<θ<90 sinθ varia da 0 a 1, il raggio del cerchio si trova nel I quadrante con funzione sinθ CRESCENTE.
Se 90<θ<180 sinθ varia da 1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel II quadrante con funzione sinθ DECRESCENTE.
Se 180<θ<270 sinθ varia da 0 a -1, il raggio del cerchio si trova nel III quadrante con funzione sinθ DECRESCENTE.
Se 270<θ<360 sinθ varia da -1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel IV quadrante con funzione sinθ CRESCENTE.

Variazioni del coseno

Nel cerchio trigonometrico di raggio 1:   se θ =0 si ha a=cosθ =1.

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in sento antiorario (convenzionalmente positivo)

● Se 0<θ <90 cosθ varia da 1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel I quadrante con funzione cosθ DECRESCENTE.

 Se 90<θ<180 cosθ varia da 0 a -1, il raggio del cerchio si trova nel II quadrante con funzione cosθ DECRESCENTE.

 Se 180<θ <270 cosθ varia da -1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel III quadrante con funzione cosθ CRESCENTE.

 Se 270<θ <360 cosθ varia da a 1, il raggio del cerchio si trova nel IV quadrante con funzione cosθ CRESCENTE.

Variazioni della tangente

Sul cerchio trigonometrico di raggio 1 conduciamo ad esso la tangente nel punto A; chiamiamo B l'intersezione fra la retta tangente h e il prolungamento del raggio R passante per P. Per la similitudine dei triangoli:

essendo R=1 si ha AB=tgθ

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in senso antiorario (convenzionalmente positivo) si potr ottenere il seguente grafico

● Per 0<θ<90 il punto P ed il raggio R si trovano nel I quadrante; il punto B descrive la parte positiva della retta h andando da AB=0 per θ=0 ad AB=+∞ per θ=`pi/2`=90 la funzione tgθ CRESCENTE.

● Per 90<θ<180 il punto P ed il raggio R si trovano nel II quadrante; il punto B descrive la parte negativa della retta h andando da AB=-∞ per θ=90=`pi/2` ad AB=0 per θ=π=180 la funzione tgθ CRESCENTE.

● Per 180<θ<270 il punto P ed il raggio R si trovano nel III quadrante; B si comporta come nel I quadrante (descrive la parte positiva della retta h) andando da AB=0 per θ=π=180 ad AB=+∞ per θ=`3/2pi`=270 la funzione tgθ CRESCENTE.

● Per 270<θ<360 il punto P ed il raggio R si trovano nel IV quadrante; B si comporta come nel II quadrante (descrive la parte negativa della retta h) andando da AB=-∞ per θ=`3/2pi`=270 ad AB=0 per θ=2π=360 la funzione tgθ CRESCENTE.

Funzione inversa arcoseno

Dati i numeri reali x ed y con -1 ≤ x ≤ 1 ed `-pi/2` ≤ y ≤ `pi/2` si ha la funzione inversa

      con dominio   D=[-1; 1]  e codominio C=[-π/2; +π/2]

se appunto   

Funzione inversa arcocoseno

Dati i numeri reali x ed y con -1 ≤ x ≤ 1 ed 0 ≤ y ≤ π si ha la funzione inversa

   con dominio   D=[-1; 1]    e codominio C=[0; π]

se appunto      

Funzione inversa arcotangente

Dati i numeri reali x ed y con x ∈ R ed `-pi/2` ≤ y ≤ `pi/2` si ha la funzione inversa

   con dominio D ≡ R e codominio

se appunto    

Funzioni reciproche

funzione cosecante             funzione secante             funzione cotangente

con limitazioni -1 ≤ sinα ≤ 1 e -1 ≤ cosα ≤ 1

Relazione fondamentale della trigonometria

La relazione fondamentale della trigonometria pu essere facilmente dedotta applicando il teorema di Pitagora al cerchio goniometrico.

Relazioni tra funzioni goniometriche

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Archi associati                      


Angoli complementari




Angoli che differiscono di un angolo retto




Angoli che hanno per somma tre angoli retti




Angoli che differiscono di tre angoli retti




Angoli che differiscono di un angolo piatto




Angoli supplementari




Angoli esplementari




Angoli opposti




Formule di addizione e sottrazione



Formule di duplicazione


Formule di bisezione

                                       

Formule di parametriche


                                         
con   

Formule di Werner

Formule di prostaferesi




Teorema dei seni

Il teorema dei seni afferma che in un triangolo qualsiasi le misure di due lati stanno tra loro come i seni degli angoli opposti.

teorema dei seni

Teorema delle proiezioni



Teorema di Carnot



Formule di Briggs

con p=semiperimetro del triangolo


Angoli particolari



  gradi

  radianti

  sin

  cos

  tg

  ctg

  0°

  0

  0

  1

  0

  non esiste

  30°

  

           

  45°

  

  

  

  1

  1

  60°

  

  

  

  

  

  90°

  

  1

  0

  non esiste

  0

  180°

 

  0

  - 1

  0

  non esiste

  270°

  

  -1

  0

  non esiste

  0

  360°

  0

  1

  0

  non esiste