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Trigonometria


   circonferenza trigonometrica di raggio 1   

Funzioni Trigonometriche

Dato un piano cartesiano, costituito da due assi ortogonali, consideriamo una circonferenza di raggio R avente centro nell'origine O della coppia di assi.
Scegliamo arbitrariamente un punto P sul I° quadrante della circonferenza il raggio determina un angolo θ con l'asse x delle ascisse.
Definiamo il punto H come la proiezione ortogonale di P sull'asse y delle ordinate. Definiamo il punto T come la proiezione ortogonale di P sull'asse x delle ascisse.

Potranno essere individuati i due segmenti:
    e    

Definiamo:

                    

nel caso del cerchio trigonometrico con R=1 si ha:

                     
Variazioni del seno


Nel cerchio trigonometrico di raggio 1:
Se θ=0 si ha b=sinθ =0

Se 0°< θ<90° sinθ varia da 0 a 1, il raggio del cerchio si trova nel I° quadrante con funzione sinθ CRESCENTE.

Se 90°< θ<180° sinθ varia da 1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel II° quadrante con funzione sinθ DECRESCENTE.

Se 180°<θ <270° sinθ varia da 0 a -1, il raggio del cerchio si trova nel III° quadrante con funzione sinθ DECRESCENTE..

Se 270°<θ <360° sinθ varia da -1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel IV° quadrante con funzione sinθ CRESCENTE.

Variazioni del coseno

Nel cerchio trigonometrico di raggio 1: Se θ=0 si ha a=cosθ =1

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in sento antiorario (convenzionalmente positivo)

Se 0°<θ <90° cosθ varia da 1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel I° quadrante con funzione cosθ DECRESCENTE.

Se 90°< θ<180° cosθ varia da 0 a -1, il raggio del cerchio si trova nel II° quadrante con funzione cosθ DECRESCENTE.

Se 180°< θ<270° cosθ varia da -1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel III° quadrante con funzione cosθ CRESCENTE.

Se 270°<θ <360° cosθ varia da a 1, il raggio del cerchio si trova nel IV° quadrante con funzione cosθ CRESCENTE.

Variazioni della tangente

Sul cerchio trigonometrico di raggio 1 conduciamo ad esso la tangente nel punto A; sia B l'intersezione fra la tangente h e il prolungamento del raggio R passante per P. Per la similitudine dei triangoli:

essendo R=1 si ha   

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in senso antiorario (convenzionalmente positivo)

   

Per 0°< θ<90° il punto P ed il raggio R si trovano nel I° quadrante; B descrive la parte positiva della retta h andando da   ad     la funzione tg θ è CRESCENTE.

Per 90°< θ<180° il punto P ed il raggio R si trovano nel II° quadrante; B descrive la parte negativa della retta h andando da       ad      la funzione è tgθ CRESCENTE.

Per 180°< θ<270° il punto P ed il raggio R si trovano nel III° quadrante; B si comporta come nel I° quadrante (descrive la parte positiva della retta h) andando da   ad        la funzione tgθ è CRESCENTE.

Per 270°< θ<360° il punto P ed il raggio R si trovano nel IV° quadrante; B si comporta come nel II° quadrante (descrive la parte negativa della retta h) andando da ad     la funzione tgθ è CRESCENTE.

Funzione inversa arcoseno

Dati i numeri reali x ed y con  ed  si ha la funzione inversa

    con       e    

se appunto      

Funzione inversa arcocoseno

Dati i numeri reali x ed y con ed   si ha la funzione inversa

    con        e     

se appunto

Funzione inversa arcotangente

Dati i numeri reali x ed y con ed    si ha la funzione inversa

  con      e   

se appunto           

Funzioni reciproche

                                        

Limitazioni:          

   Relazione fondamentale della trigonometria:    

   Relazioni   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Archi associati

   Angoli complementari   



   Angoli che differiscono di un angolo retto   





   Angoli che hanno per somma tre angoli retti    





   Angoli che differiscono di tre angoli retti   







   Angoli che differiscono di un angolo piatto   






   Angoli supplementari   






   Angoli esplementari   






   Angoli opposti   






   Formule di addizione e sottrazione   





  Formule di duplicazione   





   Formule di bisezione   

                                       

   Formule parametriche   

                                         
con   

   Formule di Werner   





   Formule di prostaferesi   






   Teorema dei seni   


   Teorema delle proiezioni   





   Teorema di Carnot   





   Formule di Briggs   

con p=semiperimetro del triangolo


   Angoli particolari   

  gradi

  radianti

  sin

  cos

  tg

  ctg

  0°

  0

  0

  1

  0

  non esiste

  30°

  

           

  45°

  

  

  

  1

  1

  60°

  

  

  

  

  

  90°

  

  1

  0

  non esiste

  0

  180°

 

  0

  - 1

  0

  non esiste

  270°

  

  -1

  0

  non esiste

  0

  360°

  0

  1

  0

  non esiste


 

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