edutecnica

 


Equazione della retta

Consideriamo una generica equazione di primo grado, nelle variabili x ed y è nella forma:

con a e b mai simultaneamente nulli.
Dividiamo l'equazione precedente per b:

        risolviamo rispetto a y       

in quest' ultima poniamo         e          otteniamo l'equazione canonica della retta:

Il diagramma cartesiano dell'equazione precedente è sempre una retta, qualunque sia il valore dei coefficienti m e q. la forma:        viene chiamata forma implicita dell'equazione della retta.

Se nell'eq. y=mx+q mancano i due coefficienti m e q, la retta che ne rappresenta il diagramma è il luogo dei punti che hanno ordinata uguale a 0, quindi è l'asse delle x, la cui equazione è:

se soltanto m è nullo si ha:

e la rappresentazione grafica di tale espressione è ancora una retta, parallela all'asse x e distante da esso della quantità q; infatti solo i punti di questa retta hanno tutti ordinata uguale a q, e la retta si trova sopra o sotto l'asse x a seconda se q sia positivo o negativo.

Il caso in cui q=0 corrisponde all'equazione:

Si nota come l'origine di coordina te O(0,0) e il punto A(1,m) appartengono alla retta che rappresenta l'equazione (le loro coordinate soddisfano l'equazione). Si verifica che le coordinate di tutti i punti della retta OA soddisfano l'eq. y=mx. Infatti detto P(x,y) un generico punto di tale retta, dalla similitudine dei triangoli rettangoli OKP e OHA risulta:


ma essendo     ,  ,  ,    sostituendo si ha :

     da cui      

Le coordinate (x;y) di ogni punto della retta OA soddisfano dunque l'eq. y=mx; la rappresentazione grafica della funzione y=mx è una retta passante per l'origine.

I punti della retta appartengono al 1° e al 3° quadrante, oppure al 2° e al 4° quadrante secondo che il coefficiente m sia positivo o negativo; inoltre un'inclinazione della retta rispetto agli assi coordinati dipende soltanto dal valore di m ,al variare di tale coefficiente varia il rapporto delle coordinate dei punti della retta; di conseguenza deve variare l'angolo che la retta forma con l'asse delle x.

Per questo motivo si usa chiamare coefficiente angolare della retta di equazione y=mx. Si può anche dire che due rette parallele hanno uguale coefficiente angolare. Ad esempio il diagramma della funzione

Il diagramma è la retta congiungente l'origine degli assi con il punto P(2,3). Infatti per x=0 è y=0; per x=2 è y=3.
La funzione è crescente al crescere di x e questo connotato è identificato dal coefficiente angolare m>0.



Il diagramma della funzione    

per x=0 è y=0 l'origine è un punto del diagramma. Per x=5 è y=-3, dunque la retta passa per il punto Q(5, - 3) e per l'origine degli assi. La funzione è decrescente al crescere di x e questo connotato è identificato dal coefficiente angolare m<0.


Infine nel caso più generale in cui m≠0 e q≠0 la funzione y=mx+q è sempre rappresentata da una retta e precisamente dalla retta che incontra l'asse l'asse y nel punto di ordinata uguale a q e che è parallela alla retta di equazione y=mx.
Si evidenzia qui, come due rette aventi lo stesso coefficiente angolare m siano parallele.


L'inclinazione della retta dipende dal parametro m che viene normalmente chiamato coefficiente angolare; dal punto di vista geometrico esso può essere facilmente identificato con la tangente dell'angolo che la retta forma rispetto all'asse x delle ascisse.

Il termine q è l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y delle ordinate; viene chiamato normalmente quota (ordinata all'origine).
Le funzioni riconducibili all'equazione y=mx+q sono sempre delle linee rette, per questo motivo vengono dette funzioni lineari.

Data l'equazione di una retta, è semplicissimo determinarne la collocazione sul piano cartesiano.
Ad. esempio: disegnare la retta di equazione y=2x+1:

basta porre y=0 e verificare il valore della x quando la retta interseca, appunto, l'asse x;

     ottenendo il punto      

poi, si pone x=0 verificando il valore della y quando la retta interseca, appunto, l'asse y; questo valore coincide ovviamente con il valore della quota q.

     ottenendo il punto      

La retta che ci è stata assegnata, passa sicuramente per questi due punti che appartengono alla retta stessa; come ovvio constatare una retta su un piano è completamente identificata quando si conoscono due punti attraverso i quali la retta passa; questi due punti devono appartenere alla retta cioè ne devono soddisfare l'equazione.

Equazione del fascio di rette passante per un punto

Se volessimo scrivere l'equazione della retta passante per un punto assegnato P(x1; y1); le coordinate del punto dovrebbero soddisfare l'equazione canonica della retta

     deve essere allora          membro a membro:

Questa è l'equazione della retta richiesta, dove però, il valore di m è indeterminato: al variare di m si ricavano tutte le equazioni delle infinite rette passanti per P(x1; y1). Essa è l'equazione del fascio di rette passante per P(x1; y1).

Equazione della retta passante per due punti

Considerando due punti P(x1; y1) e Q(x2; y2) abbiamo detto che l'equazione del fascio di rette di centro P è



Se facciamo in modo che la retta passi anche per il punto Q, le coordinate di Q devono soddisfare l'equazione suddetta.

     dividendo membro a membro si avrà:

Che è l'equazione cercata che individua la retta passante per due punti.

Condizione di perpendicolarità

Si è visto prima, come due rette aventi lo stesso coefficiente angolare m siano parallele; allo stesso modo è possibile dimostrare che due rette di equazione:
y=m1x+q
y=m2x+q
sono perpendicolari fra loro, quando:      

Si dice, in questo caso che il coefficiente angolare della prima deve essere l'inverso e il reciproco della seconda.


edutecnica