edutecnica

Rapporti        

Si chiama rapporto tra due numeri presi in un certo ordine, il loro quoziente.

Ad esesmpio, se in una classe ci sono 11 maschi e 7 femmine :

il rapporto femmine/maschi è 7/11 mentre
ilrapporto maschi/femmine è 11/7

Dunque, viene definito rapporto tra due grandezze omogenee, prese in un certo ordine, il quoziente tra le loro misure espresse nella stessa unità.

Ad esempio, il rapporto base-altezza (standard) per i monitor da computer è 4 a 3 e si scrive 4/3, anche se poi sappiamo che l'introduzione dei monitor per poter vedere i film in HD ha portato questo rapporto a 16/9.

rapporto b/h=16/9

questa uguaglianza può essere chiamata rapporto diretto; è possibile definire anche il rapporto inverso:

rapporto h/b=9/16

Viene definito rapporto inverso (di un dato rapporto) quello che si ottiene scambiando l'ordine delle grandezze considerate.

Si osserva poi, come il rapporto sia indipendente dall'unità di misura scelta

Nel disegno riportato si ha il

rapporto h/b=8/6=4/3

abbiamo, dunque, due frazioni equivalenti di cui solo 4/3 è ridotta ai minimi termini.

Un rapporto è semplificato quando è espresso da una frazione ridotta ai minimi termini:e' buona abitudine usare sempre rapporti semplificati.


b : 1
h : 1

rapporto base/altezza= b/h=
1/1
=1

Proporzioni        

Una proporzione è un uguaglianza tra due rapporti.
Per esempio se

il bidone di vernice A ha un volume di 12 litri e costa 40€
il bidone di vernice B ha un volume di 15 litri e costa 50€

i volumi dei due bidoni, danno luogo alla proporzione 12 : 15 =
12 / 15
= 0,8
mentre i costi corrispondenti sono 40 : 50 =
40 / 50
= 0,8
allora potremo scrivere 12 :15 = 40 : 50 →
12 / 15
=
40 / 50
= 0,8

e leggeremo 12 sta a 15 come 40 sta a 50 ; questa è una proporzione . Questa scrittura può essere considerata anche in ordine inverso

15:12=50:40

e anche questa è una proporzione; i quattro numeri presenti in una proporzione sono chiamati termini.

Il primo e l'ultimo termine sono chiamati estremi, il secondo ed il terzo termine sono chiamati medi.

Il primo ed il terzo dermine si dicono antecedenti, mentre il secondo ed il quarto termine si dicono conseguenti.

Proprietà fondamentale delle proporzioni        

In una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
esempio:

3 : 5 = 9 : 15  →  infatti è   5 · 9 = 3 · 15    in generale è:

a : b = c : d   →   a · d = b · c

Questa proprietà è molto importante. La nostra proporzione non è rappresentabile solo nella forma a : b = c : d ma anche in quella equivalente che prevede l'uso delle linee di frazione

a / b
=
c / d
riducendo le due frazioni allo stesso denominatore si ha      
a·d / b·d
=
c·b / d·b

le frazioni così ottenute sono uguali ed hanno lo stesso denominatore, di conseguenza devono essere uguali anche i numeratori cioè

a · d = b · c

 Proprietà del permutare  

• Una proporzione rimane valida se si scambiano tra loro i medi

a : b = c : d      →      a : c = b : d      rimane invariata      a · d = b · c

• Una proporzione rimane valida se si scambiano tra loro gli estremi.

a : b = c : d      →      d : b = c : a      rimane invariata   a · d = b · c

 Proprietà dell'invertire  

• Una proporzione rimane valida se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente.

a : b = c : d     →     b : c = d : c     rimane invariata a · d = b · c

 Proprietà del comporre  

• In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine, come la somma dei due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine. Ad es.

2 : 5 = 6 : 15
si ha (2+5) : 5=(6+15) : 15
ed anche (2+5) : 2=(6+15) : 6

 Proprietà dello scomporre  

• In ogni proporzione la differenza tra i primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la differenza tra i due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine.

3 :4 =9 : 12
si ha (4-3) : 4=(12-9) : 12
ed anche (4-3) : 3=(12-9) : 9

Come trovare il termine incognito in una proporzione        

Se in una proporzione è incognito un termine medio, per trovare il suo valore è sufficiente dividere il prodotto dei due estremi per il medio noto; se invece è incognito un termine estremo, per trovare il suo valore è sufficiente dividere il prodotto dei due medi per l'estremo noto.

consideriamo la proporzione

3 : 6 = x : 8        come facciamo a trovare il termine incognito?

E' sufficiente applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni

6·x = 3·8        →        6·x = 24 →        x = 24/6 = 4

Questo procedimento è efficace anche se il termine incognito è uno dei due estremi

x : 25 = 3 : 15        applico la proprietà fondamentale delle proporzioni ottenendo

15·x = 3·25       →       15·x = 75       →        x=75/15=5

: = :   

Grandezze direttamente proporzionali        

Due grandezzze si dicono direttamente proporzionali se, quando una di esse diventa doppia, tripla, la metà .. anche l'altra, corrispondentemente, diventa doppia, tripla, la metà etc..

kg costo
1 5
2 10
3 15
4 20

Per esempio, supponiamo di andare al mercato del pesce, e di trovare del merluzzo a 5€ al kg (un'occasione!) indecisi sul quantitativo da comperare, potremmo scrivere la tabella riportata, dove risulta costante il rapporto tra un valore qualsiasi della seconda grandezza (€) rispetto al corrispondente valore della prima grandezza (kg) cioè


5 / 1
=
20 / 2
=
15 / 3
= . . . =
y / x
= costante

Inoltre, il rapporto tra due valori qualsiasi della prima grandezza è uguale al rapporto tra i valori corrispondenti dell'altra, cioè:

1 : 3 = 5 : 15
3 : 4 = 15 : 20 più in generale
x1 : x2 = y1 : y2

La nostra proporzione può essere rappresentata graficamente

Il grafico disegnato, può essere utile per vedere, senza fare i calcoli, quanti soldi ci vogliono per comperare 3,5kg di merluzzo, cioè, 17,5€ come risulta evidente dal disegno

• la rappresentazione grafica della proporzionalità diretta è una semiretta passante per l'origine del piano cartesiano.

Grandezze inversamente proporzionali        

Due grandezze sono inversamente proporzionali se, diventando una doppia, tripla .., l'altra diventa la metà, un terzo etc..

tempo (ore) velocità (km/h)
1 120
2 60
3 40
4 30

Si possono fare delle considerazioni: per prima cosa, risulta costante il prodotto tra qualsiasi valore della prima grandezza ed il corrispondente valore della seconda.

12 · 1 = 60 · 2 = 40 · 3 = . . . = y · x = costante

inoltre il rapporto tra due valori qualsiasi della prima grandezza è uguale al rapporto inverso dei corrispondenti valori della seconda.

1 : 3 = 40 : 120
2 : 4 = 30 : 60 cioè
x1 : x2 = y2 : y1
e si ottiene il seguente grafico

• La rappresentazione grafica della proporzionalità inversa è una curva che chiamata iperbole equilatera.

Percentuali        

La nozione di proporzionalità diretta è utile per calcolare le percentuali.
Per esempio, se diciamo che in una scuola, gli allievi che hanno raggiunto la promozione sono stati l'ottantacinque per cento ( scrivendo 85%) si intende che se gli alunni fossero stati 100 la promozione sarebbe stata raggiunta solo da 85 di loro.
In termini numerici intendiamo dire che il rapporto tra il numero degli alunni che sono stati promossi ed il numero totale di alunni è

85 / 100

• per trovare delle percentuali, occorre risolvere proporzioni in cui uno dei termini è sempre il 100.

Se nella scuola in esame gli alunni valutati sono stati 320, per sapere quanti sono stati promossi occorre risolvere la proporzione

x : 320 = 85 : 100           e si ottiene          x =
320·85 / 100
= 272

Facciamo un secondo esempio: è stata acquistata una lavatrice per 300€ ma il negoziante ha fatto uno sconto del 15%; quanto è stato speso in realtà?

spesa risparmio
100    →   15
300    →   x

Abbiamo dunque

100 : 300 = 15 : x           da cui           x =
300·15 / 100
= 45€

Dunque la spesa effettiva si ottiene sottraendo da 300€ i 45€ dello sconto, cioè 300-45=255€

Come si vede, usando le proprietà del calcolo proporzionale si possono risolvere problemi in cui intervengono calcoli percentuali.

 Esempio  

Calcolare la percentuale dei promossi di una classe scolastica sapendo che dei 24 studenti iscritti solo 18 sono stati promossi. Impostiamo la proporzione

24 : 18=100 : x     →     x=
18·100 / 24
=75

 Esempio  

Quanto guadagna un cliente di una banca che deposita per un anno un capitale di 8500€ sapendo che la banca corrisponde un interesse dell'1,5%

100 : 1,5=8500 : x     →     x=
1,5·8500 / 100
=127,5

 Esempio  

Un commerciante ha abbassato il prezzo di un certo articolo del 15% determinare il prezzo originario di quell'articolo sapendo che l'attuale prezzo di vendita è di 102€ Dato che 100-15=85 si può dire che il commerciante vende ora ad un prezzo che è l'85% del prezzo originario; se indichiamo con x il prezzo originario possiamo scrivere la proporzione.

100 : 85=x : 102     →     x=
100·102 / 85
=120

il prezzo originario era di 102€.