edutecnica

Monomi        

In aritmetica, per generalizzare i problemi, invece di numeri particolari si usano le lettere minuscole dell'alfabeto (a, b, c, ..etc.) alle quali si possono sostituire dei numeri qualsiasi, queste lettere sono chiamate parametri.
Sono ad esempio parametri la r nel calcolo dell'area di un cerchio (π·r2) oppure la b (base) e la h (altezza) nel calcolo dell'area di un triangolo (b·h/2) .

Un caso particolare costituito dalle lettere x ed y che sono pi comunemente indicate come indeterminate o incognite.

Un' espressione algebrica letterale, un complesso di operazioni da eseguire su numeri e lettere. Ad esempio

Un'espressione algebrica viene chiamata razionale intera, quando le operazioni indicate sono soltanto addizione, sottrazione, moltiplicazione ed elevamento a potenza

espressione razionale intera

se invece tra le lettere appare anche l'operazione di divisione, l'espressione si dice razionale frazionaria.

espressione razionale frazionaria

La pi semplice espressione letterale il monomio.
Per quello che abbiamo accennato all'inizio, ad esempio, la formula per calcolare l'area di un triangolo un monomio

dove possono essere evidenziate una parte numerica chiamata coefficiente ed una parte letterale.

Un monomio un' espressione letterale in cui appaiono solo operazioni di moltiplicazione tra le lettere, ed un eventuale coefficiente che pu essere un numero reale qualsiasi.

      sono monomi

                non sono monomi

come si vede l'operazione di elevamento a potenza ammessa perch la potenza non altro che una moltiplicazione ripetuta.
Non sono ammesse potenze ad esponente negativo nella parte letterale, perch, per le propriet delle potenze, queste comportano una operazione di divisione ; infatti (ad es.)

queste limitazioni non riguardano il coefficiente che per la definizione di monomio pu essere un numero reale qualsiasi; quindi

     ammesso come coefficiente, perch un numero razionale e quindi reale

   ammesso come coefficiente, perch un numero reale.

Se in un monomio appaiono pi fattori numerici e pi potenze della stessa lettera, possiamo sostituire ai fattori numerici, il loro prodotto, e alle varie potenze di ciascuna lettera, un'unica potenza di quella lettera.
In questo modo otteniamo un monomio ridotto a forma normale. Ad es.

forma normale di un monomio

ogni monomio ridotto in forma normale ha un solo fattore numerico (parte numerica) che ricordiamo, si chiama coefficiente; mentre l'insieme dei fattori letterali, è la parte letterale del monomio.

Se in un monomio non appare il coefficiente si intende come sottinteso +1 o -1 a secondo che il monomio sia preceduto da + o da -.

• Il grado di un monomio intero, in forma normale, rispetto ad una certa lettera, l'esponente di quella lettera.

• Il grado complessivo di un monomio, uguale alla somma degli esponenti delle lettere che in vi appaiono.

2 / 3
a3bc2

di grado 3 rispetto alla lettera a
di grado 1 rispetto alla lettera b
di grado 2 rispetto alla lettera c
il grado complessivo del monomio 6.

• Due monomi sono uguali quando, ridotti in forma normale, hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale.

• Due monomi che hanno la stessa parte letterale ma coefficienti opposti, si dicono monomi opposti.
   Ad es. 3a3b2   e   -3a3b2 sono monomi opposti.

• Due o pi monomi che hanno la stessa parte letterale si dicono monomi simili. Ad.es.

2a3bc2      e      
3 / 5

a3bc2            sono simili tra loro.

Somma algebrica di monomi        

Per calcolare la somma di due o pi monomi, questi devono essere scritti uno di seguito all'altro, ciascuno con il suo segno.

Per addizionare i monomi     2a2b;          -5ab3c2;          +7abc
si scrive      2a2b - 5ab3c2 + 7abc

chiaramente, in generale, il risultato un'espressione algebrica che non un monomio.

Se ci sono due o pi monomi simili, si fa la riduzione dei termini simili, sostituendo ai monomi simili un monomio simile ad essi che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi assegnati.
Supponiamo di dover addizionare i seguenti monomi

si scrive

infatti i tre monomi sottolineati sono simili perch le loro parti letterali sono uguali ; si possono quindi ridurre ad un solo monomio, sommando i coefficienti

si deduce che la somma di due monomi opposti 0.

Per facilitare il calcolo della somma algebrica di pi monomi sempre meglio sottolineare con segni particolari, i gruppi di monomi simili e di sopprimere (sbarrandoli) quelli opposti; si esegue, poi, la riduzione in termini simili. Ad es.

sottolineiamo i monomi simili ed eliminiamo i monomi opposti

eseguiamo la riduzione ai termini simili

Prodotto di monomi        

Il prodotto di due o pi monomi un monomio, che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e, come parte letterale, le lettere comuni con esponente uguale alla somma degli esponenti, e le lettere non comuni con esponente immutato.

• esempio

qui si applicano le propriet della moltiplicazione e delle potenze

in pratica si sommano gli esponenti delle singole lettere:

• esempio

• esempio

Potenza di un monomio        

Per elevare a potenza con esponente intero un monomio, si eleva a quella potenza il coefficiente e si moltiplicano gli esponenti dei fattori letterali per l'esponente della potenza.

• esempio

• esempio

• esempio

Divisione di monomi        

Il quoziente di due monomi un monomio che ha come quoziente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale tutte le lettere dei due monomi, prese ognuna una volta sola, con esponente uguale alla differenza degli esponenti che ciascuna lettera ha nel dividendo e nel divisore.

• esempio

In pratica si sottraggono gli esponenti delle singole lettere

• esempio

• esempio

• esempio

Massimo Comune Divisore di monomi        

Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di due o pi monomi il monomio di grado massimo che divide ciascun monomio assegnato.

• esempio : supponiamo di dover calcolare l'MCD di tre monomi

Infatti l'MCD tra 4, 6 e 8 2; delle lettere si scelgono solo quelle comuni a tutti a tutti i termini, cio, in questo caso a e b .
La lettera c non c' nel primo monomio e quindi non serve per l'MCD.
Gli esponenti della lettera a sono, nei tre monomi rispettivamente, 3; 2; 3, quelli della lettera b sono 4; 3; 1.
Per entrambe le lettere si sceglie l'esponente minore: a2b la parte letterale dell'MCD cercato.

Il M.C.D. di due o pi monomi a coefficienti interi il monomio che ha per coefficiente il M.C.D. dei coefficienti e, come parte letterale, le lettere comuni a tutti i monomi dati, ciascuna lettera presa una sola volta con l'esponente minore.

• esempio : trovare il M.C.D. tra

si ha

il segno potrebbe essere il + o anche il - ma normalmente si sceglie il segno +.

Se non tutti i coefficienti sono interi si assume, in genere, come coefficiente del MCD +1, che evidentemente si sottintende.

• esempio : trovare il M.C.D. dei i seguenti monomi

si ottiene

Minimo comune multiplo di monomi        

Il minimo comune multiplo di due o p monomi il monomio di grado minimo che sia divisibile per ciascuno dei monomi dati.
Il m.c.m. di due o pi monomi a coefficienti interi il monomio che ha per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti e, come parte letterale le lettere comuni e non comuni ai monomi assegnati, ciascuna di esse prese una sola volta con il massimo esponente.

• esempio : calcolare il m.c.m. dei i seguenti monomi

si ha

Infatti il mcm tra 6; 4 e 2 12.
Le lettere si scrivono tutte con l'esponente pi alto che ciascuna di esse ha nei vari monomi di cui si deve cercare l'mcm.
Per la lettera a scegliamo l'esponente 4, il maggiore che appare tra i vari monomi, per la lettera b scegliamo il l'esponente 3, per la c scegliamo l'esponente 1, il maggiore possibile.
Il m.c.m. cercato dunque 12a4b3c.

• esempio : calcolare il m.c.m. dei monomi

risulta:

il segno finale pu essere + o - ma come nel caso del M.C.D. si sceglie abitualmente il +.

Se non tutti i monomi hanno coefficienti interi, si assume come coefficiente del m.c.m. +1 che naturalmente si sottintende.

• esempio : calcolare il m.c.m. dei seguenti monomi

si ha:

Riassumiamo queste regole nel seguente schema dove, per, possibile usare solo coefficienti interi ed esponenti positivi.
Le operazioni consentite sono dunque la moltiplicazione (*) e l'elevamento a potenza (^).