edutecnica

 


Limite finito

Se la funzione          
risulta definita nell'intervallo aperto  con  si dice cha la funzione ha per limite il numero finito l, per x tendente ad x0 se, scelto arbitrariamente un δ numero positivo , esiste conseguentemente a tale scelta, un altro numero ε, tale che per ogni

cioè x diverso da x0 ed appartenente all'intorno aperto si abbia
      che significa            
in tal caso si può scrivere:

con notazione simbolica si scrive:

che viene letta: per ogni valore di ε maggiore di 0 esiste un δ maggiore di 0 tale che per qualsiasi valore di x appartenente all'intervallo circolare (x0-δ , x0) ne consegue che la f(x) appartiene all'intervallo (l-ε;l+ε).

La definizione dice che, fissato un numero , piccolo a piacere viene sempre trovato un intorno di x0 tale che per ogni x appartenente a tale intorno, f(x) appartiene all'intorno circolare (l-ε,l+ε) cioè f(x) è molto vicino ad l.

Esempio:

bisogna provare che scelto un ε>0 esiste un'intorno completo di 2 per ogni x del quale (escluso al più il 2) si ha |(3x-2)-4|<ε.

     cioè:

abbiamo trovato un intorno di 2=x0 per cui è vera la condizione iniziale ed il limite è verificato.Il raggio δ dell'intorno trovato dipende da ε e vale δ=ε/3.

Esempio:

verificare che :      

in corrispondenza di un ε>0 prefissato si dovrà determinare un δ, tale che per ogni x (diverso da 2) che soddisfa la:

       ....si abbia          

risolviamo quest'ultima rispetto ad x:

        cioè

farebbe              

da cui si riconosce che se si sceglie δ il più piccolo dei due numeri   

per ogni x che soddisfa la    viene soddisfatta la

Limite finito per x che tende ad infinito

La funzione y=f(x) definita nell'intervallo (-∞, +∞) oppure (a, +∞) ha limite l per x tendente a e si scrive :

se scelto arbitrariamente ε>0 si può determinare conseguentemente a tale scelta un numero K>0 tale che per ogni  x>K si abbia |f(x)-l|<ε  o ciò che è lo stesso: l-ε < f(x) < l+ε.
In termini simbolici:

se invece si deve verificare la tendenza a  

 

si avrà:

Esempio:

In base alla definizione data, scelto un ε positivo si dovrà trovare conseguentemente un K positivo tale che per ogni x>K si abbia:

in quest'ultima esplicitiamo la x:           diventa..

se si assume   essendo soddisfatta la condizion x>K sarà soddisfatta anche la .

Limite infinito

Se la y=f(x) definita in (a,b) salvo al più x0∈(a,b) dice che la funzione ha limite +∞, −∞ se scelto comunque un numero positivo H esiste, conseguentemente a tale scelta u altro numero positivo δ tale che per ogni |x-x0|<δ si abbia:

                            e si scrive:

poi se la y=f(x) è definita in un intervallo (−∞, +∞ )  si dice che essa ha limite +∞, −∞ per x tendente a +∞ o −∞ se, scelto comunque un intero H, conseguentemente a tale scelta, si può trovare un numero positivo K tale che per ogni |x|>K   si abbia   |f(x)|>H; si dice per la precisione:

se   

se   

se   

se   

Teorema dell'unicità del limite

Se una f(x) per x→x0 tende ad un limite finito l, esso è unico.

Limite del prodotto di una costante per una funzione

Se           se     x∈R  ∨ k≠0

Limite della somma (algebrica) di funzioni

Se          

allora       

Limite del prodotto di funzioni

Se          

allora     

Limite del quoziente di funzioni

Se        allora    

se      allora     

se       allora      

se       allora     

In linea generale per un quoto tra due funzioni   

I) Se il denominatore D(x) tende all'infinito e il numeratore N(x) ad un limite finito anche nullo, il quoziente tende a zero.

II) Se il denominatore D(x) tende a zero ed il numeratore N(x) ad un limite non nullo o infinito , il quoziente tende ad infinito.

III) Se tanto il numeratore che il denominatore tendono entrambi a zero o entrambi ad infinito, nulla si può dire sul limite del quoziente.


Teorema del confronto

Se in uno stesso intervallo (a,b) comprendente x0, tre funzioni g(x), f(x), h(x) soddisfano alla disuguaglianza
con


Limite di un esponenziale

Se   e risulta a>0   a≠1  allora si avrà:      

Limite di un logaritmo

Se f(x)>0 allora        con k>0  e k∈R


Limite di una funzione razionale fratta

E'  evidente che : oppure che  

consideriamo ora, un polinomio di grado n

             risulterà:        inoltre:

ma chiaramente questo dipende dal segno di a

ora, se i polinomi sono due:    se  

se invece,    si ha la  forma indeterminata    .

Bisogna cercare di semplificare la frazione e passare successivamente al limite; se la forma indeterminata si ripresenta, bisogna cercare di semplificare ulteriormente.

Esempi:

in questo ultimo caso è possibile determinare sia il limite destro che quello sinistro:

dal grafico si deduce che  in un intorno sinistro di 2; quindi:

mentre è  nell'intorno destro di 2; quindi:  

Esempio:

dobbiamo, allora, cercare di semplificare la frazione; fortunatamente i due polinomi sono facilmente riducibili col metodo di Ruffini.

Con le polinomiali, come si vede, i problemi sono facilmente risolvibili.

Esaminando, ora, l'eventualità:

   (forma indeterminata)

Se è:        e inoltre


Altre forme di indeterminazione

questo è il classico caso che prevede la tecnica della razionalizzazione:

     per cui:



Questi artifici non sono, talvolta, sufficienti ed è spesso necessario il ricorso ai limiti notevoli di cui omettiamo le dimostrazioni,

Continuità di una funzione

Se una funzione y=f(x) è definita in un intervallo chiuso [a,b] possiamo dire che questa funzione è continua in un punto x0 ∈[a,b]  se:

se in un intorno destro di x0 si ha la funzione è continua a destra di x0.

e se per un intorno sinistro di x0 si ha la funzione è continua a sinistra di x0.

La  definizione formale di continuità  è la seguente:

Una funzione f(x) si dice continua in un suo punto dell'intervallo di definizione, se prefissato un ε>0 arbitrario, è possibile, conseguentemente a tale scelta, determinare un altro numero positivo δ, tale che per ogni x che soddisfa la condizione : |x-x0|<δ si abbia |f(x)-f(x0)|< ε

In questo caso non è necessario escludere il punto x0, in quanto per x=x0 si ha |f(x)-f(x0)| nullo e quindi minore di ε>0.

Se f(x), g(x), h(x), sono funzioni continue sono funzioni continue nel punto x0, risultano continue nel punto x0 anche le funzioni riportate a fianco.

 

Sono, pertanto continue, tutte le funzioni razionali intere e le razionali fratte (in ogni punto in cui non si annulla il denominatore).

Poi si ha che se f(x)>0; a>0; ed a≠1 sono continue anche le funzioni:

Ovviamente, nei punti in cui una funzione non è continua, si dice discontinua. Ad. es.

         è definita per ogni x≠0, dato che

    si avrà

come si vede, questa funzione non è continua ne a destra ne a sinistra del punto x=0.


I più importanti teoremi sulle funzioni continue, sono qui sotto riportati:

Una funzione continua in un intervallo, ha in tale intervallo un valore minimo m ed un valore massimo M.

Una funzione continua nell'intervallo [a,b] prende in questo intervallo, almeno una volta, tutti i valori compresi fra m ed M.

Se agli estremi dell'intervallo i definizione [a,b], una funzione continua assume valori di seno contrario, vi è almeno un punto compreso fra a e b nel quale la funzione si annulla.


Se in un punto c interno all'intervallo [a,b] di definizione, la funzione continua f(x) assume valore diverso da zero, esiste un conveniente intorno I di c, nel quale la funzione ha lo stesso segno che ha in c. (teorema della permanenza del segno)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

edutecnica