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Logaritmi

Con a>0 & a≠1.
Confrontando la curva di equazione y=ax con la retta di equazione y=b,si hanno due casi, a seconda se b>0 oppure se b≤ 0.

Come si nota, la curva y=ax si trova sempre nel semipiano superiore. Considerando il problema della soluzione della generica equazione ax=b con a>0 & a≠ 1. Si possono presentare due casi:

A] b≤ 0 : l'equazione è impossibile, dato che la generica curva di equazione y=ax
ha come condominio . Dall'immagine si vede come nessuna intersezione sia possibile fra le due curve.
B] Se b>0 si ha un'unica soluzione dato che .

In questo caso la soluzione è unica e viene chiamata logaritmo in base a di b.

a viene chiamata la base del logaritmo e b è detto argomento del logaritmo.
Quindi se a>0 & a≠1 e b>0:

Il logaritmo in base a del numero b è l'esponente da attribuire alla base a per ottenere una potenza uguale all'argomento b. Dalle descrizioni fatte si deduce che non esiste il logaritmo di un numero negativo. inoltre se a>0 & a≠1 e b>0, abbiamo:

Poi si può affermare che:         infatti l'esponente da attribuire ad a per ottenere ak è proprio k.
Da quest'ultima proprietà e dall'uguaglianza a0=1, deriva che qualunque sia il numero a≠1 si ha:

con a>0, a≠1; dato poi che a1=a .

Si può dunque affermare che qualunque sia la base, purché positiva e diversa da 1, il logaritmo di 1 è uguale a zero e il logaritmo della base è uguale a 1.


Logaritmi naturali e logaritmi decimali

Nel calcolo dei logaritmi si usano comunemente i logaritmi in base 10 oppure quelli in base e=2,71828.. (numero di Neper) si usa solitamente la notazione

1] lnx per indicare lnex il logaritmo in base e di x.

2] lgx per indicare lg10x il logaritmo in base 10 di x.

 

Proprietà dei logaritmi


cambiamento di base

      con      


Grafico della funzione logaritmica





Equazioni esponenziali risolubili tramite logaritmi

Utilizzando i logaritmi è possibile, tecnicamente, risolvere quelle equazioni esponenziali i cui membri sono prodotti e quozienti con basi diverse. Considerando l'equazione:

dove sia nella f(x) che nella g(x) si presentano solo prodotti e quozienti di termini positivi nei quali l'incognita compare solo all'esponente di alcuni di essi. Nell'ipotesi che f(x)>0 e g(x)>0 si può usare la tecnica:

Dove a è una base arbitraria.

Equazioni logaritmiche

Sono equazioni dove l'incognita si trova come argomento di uno o più logaritmi. In questo caso dobbiamo tener presente che gli argomenti di tutti i logaritmi che ci sono nell'equazione devono essere positivi. Bisogna quindi valutare le condizioni di accettabilità delle soluzioni trovate: in corrispondenza di esse nessuno degli argomenti dei logaritmi che appaiono nell'equazione devono essere negativi. In genere si cerca sempre di raggiungere il passaggio algebrico:

oppure se il logaritmo appare soltanto in uno dei due membri si applica la:

 

 

 

 

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