Proprietà dei logaritmi

        

Definizione di logaritmo

   con   

Logaritmo del prodotto di due o più numeri

   con    

Logaritmo del quoziente di due numeri

   con    

Logaritmo della potenza di un numero positivo

   con    

Logaritmo di un radicale

   con    

Cambiamento di base di un logaritmo

   con    

Definizione di logaritmo

a = base del logaritmo
b = argomento del logaritmo
Il logaritmo di base a del numero b è l'esponente da assegnare alla base a per ottenere una potenza di valore b.
La base a deve essere positiva e diversa da 1, l'argomento b deve essere positivo , coseguentemente si può dire che non esiste il logaritmo di un numero negativo.
Da questa definizione derivano le seguenti proprietà:

   con   

questo, dato che log_ab è l'esponente da attribuire alla base a per ottenere l'argomento b.

   con   

l'esponente che bisogna assegnare ad a per ottenere a^c è c.
Da questa proprietà e dalla proprietà delle potenze a⁰=0 si ottiene poi

    con          e dato che a¹=a, risulta poi:     

Logaritmo del prodotto di due o più numeri

Sapendo che    

Il numero log_am+log_an è l'esponente da dare ad a per ottenere m·n, cioè, questo numero è il logaritmo in base a di m·n; dunque

Logaritmo del quoziente di due numeri

Il numero log_am-log_an è il numero da assegnare come esponente alla base a per ottenere una potenza uguale ad `m/n` cioè tale numero è il logaritmo in base a di `m/n`

Un caso notevole si ha per m=1; considerando che log_a1=0 si ha

    

Logaritmo della potenza di un numero positivo

Se consideriamo che `a^(log_ab)=b` , eleviamo alla m entrambi i membri

quindi m·log_ab è l'esponente da assegnare alla base a per ottenere b^m , dunque m·log_ab è il logaritmo in base a di b^m.

Logaritmo di un radicale

Dalle proprietà delle potenze sappiamo che `b^(1/n)=root(n)(b)`  dunque:

Cambiamento di base di un logaritmo

Supponiamo di voler esprimere l'uguaglianza m=log_ab tramite logaritmi in base c

ne consegue che deve essere

si conclude che è