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Equazioni differenziali ordinarie      

Supponiamo di voler individuare l'insieme delle curve y=f(x) rappresentabili sul piano cartesiano che abbiano, in ogni loro punto, la pendenza (derivata prima) uguale al doppio del prodotto delle loro coordinate cartesiane in quel punto.


Per la definizione di derivata, il problema può essere risolto dalla relazione

Nell'ultima formula sono presenti contemporaneamente la funzione y(x), la sua derivata prima e la variabile indipendente x.
Le equazioni del tipo rappresentato, vengono chiamate equazioni differenziali, esse sono classificate come equazioni funzionali la loro soluzione implica la ricerca di una o più funzioni che soddisfino l'equazione assegnata.
Nel nostro caso specifico, si può verificare che la famiglia di funzioni soddisfa l'equazione assegnata, infatti:

         sostituendo                

bisogna evidenziare che;

La soluzione dell' equazione differenziale assegnata è una famiglia di infinite funzioni (una per ogni valore di C).
Assegnate le coordinate di un punto P(1,1) si individua la specifica curva della famiglia di funzioni soluzione che passa per P.

quest'ultima viene chiamata soluzione particolare (integrale particolare) mentre la  viene chiamata soluzione generale (integrale generale) dell'equazione differenziale assegnata.

Ricapitolando, se y=y(x) e fra le sue prime n derivate c'è una relazione

questa viene chiamata equazione differenziale ordinaria di ordine n.
Ogni equazione y=y(x) che soddisfa l'equazione suddetta viene chiamata integrale particolare dell'equazione differenziale , l'insieme delle funzioni che soddisfano l'equazione viene chiamato integrale generale e la ricerca di questo integrale prende il nome di integrazione dell'equazione differenziale.

Equazioni differenziali del primo ordine      

Sono equazioni del tipo

I casi più semplici sono i seguenti:

Equazioni a variabili separabili   

Sono quelle riducibili al tipo       

separando, quindi le variabili:           integrando

               ad esempio


Equazione lineare   

moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per  

      si osserva che

      quindi integrando

             si ha l'integrale generale

                 ad esempio, integriamo la funzione

l'integrale generale è:              essendo     

Equazioni omogenee      

poniamo          deriviamo rispetto ad x

                        sostituendo nell'equazione

                 risolvendo rispetto ad z'

quest'ultima è una equazione differenziale a variabili separabili; integrandola

         ad esempio integriamo la seguente equazione differenziale

                   dividiamo entrambi i membri per xy

                         ponendo                  

separando le variabili    


Equazioni differenziali del secondo ordine      

Sono equazioni del tipo

un caso può essere            

Con due successive integrazioni, si ha l'integrale dell'equazione differenziale.

Oppure si può aere         

si procede per sostituzione, ponendo    e di conseguenza     l'equazione diventa

che è una equazione lineare. Ad esempio, integriamo la seguente equazione differenziale

                                     dopo aver posto     e     si ha

       l'integrale generale è

Equazione lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti      

Va premesso che se l'equazione ammette gli integrali particolari y1 ed y2, ammette come integrale generale una qualsiasi combinazione lineare C1y1+C2y2. Infatti

e i due termini fra parentesi per ipotesi fatta sono nulli.

Poniamo         quindi

dato che       

quest'ultima viene chiamata equazione caratteristica dell'equazione differenziale assegnata.

Se l'equazione caratteristica ammette due radici reali α1 ed α2 si ha che eα1x ed eα2x sono integrali particolari dell'equazione assegnata, quindi la combinazione lineare

è integrale generale dell'equazione differenziale assegnata.

Se l'equazione caratteristica ammette una radice doppia      oltre all'integrale particolare
si ha anche l'integrale particolare    e il suo integrale generale potrà scriversi

Infine se l'equazione caratteristica ha radici complesse coniugate

si hanno i due integrali particolari

tenendo conto delle formule di Eulero

l'integrale generale, può quindi, essere scritto come

con γ1 e γ2 costanti arbitrarie; avremo allora

ponendo   e    si ha l'integrale generale

Esempio 1

   ha equazione caratteristica  

che ammette radici reali          ha dunque integrale generale

Esempio 2

         ha equazione caratteristica      

essa ha radice doppia α=3 ha dunque integrale generale:

Esempio 3

         ha equazione caratteristica      

le radici sono complesse coniugate        

 essa ha, dunque, integrale generale

Equazione lineare non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti      

Consideriamo una equazione differenziale del tipo

con p e q costanti note e y1(x) un suo integrale particolare, si può verificare che se yo(x) è l'integrale generale della

l'integrale generale della      può essere espresso come

Sono disponibili i seguenti metodi abbreviati:
Se f(x) è un polinomio di grado n nella variabile x , y1(x) sarà un polinomio ( anch'esso ) di grado non superiore ad n+2.

Per la precisione y1(x) sarà di grado      

Esempio

Risolvere      

è n=1 p=2 e q=0: l'integrale particolare sarà di grado n+1=2 cioè un polinomio di secondo grado del tipo

                quindi

                            dovrà essere              

mentre l'integrale generale dell'equazione omogenea associata       

l'equazione caratteristica è         

quindi l'integrale generale dell'equazione non omogenea assegnata:

    

con   

Se f(x) è una funzione esponenziale del tipo l'integrale particolare è del tipo

  se k non coincide con nessuna delle due radici dell'eq.caratteristica associata.

  se k coincide con una delle due radici dell'eq.caratteristica associata.

 se k coincide con la radice doppia dell'eq.caratteristica associata.

con il coefficiente a da determinare opportunamente.

Esempio

Risolvere     che ha l'equazione omogenea associata

L'integrale generale di quest'ultima è:    

Come abbiamo detto l'integrale particolare sarà del tipo  

L'integrale generale dell'eq.diff.le non omogenea sarà dunque:    

Se f(x) è una funzione goniometrica del tipo 

un integrale particolare è

Esempio

Risolvere   

L'integrale particolare sarà del tipo        (k=1) .

Se esso deve soddisfare l'eq.diff.assegnata considerando che

     si ha          deve essere

L'integrale generale dell'eq. non omogenea è:

 

 

 

 

 

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