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Equazioni di primo grado

Chiunque davanti ad una scrittura come questa potrebbe rimanere perplesso.

Si tratta di una affermazione illogica che in matematica viene solitamente qualificata come un assurdo, la si corregge scrivendo:

Ma se per caso dovessimo scrivere     
Nessuno avrebbe da obiettare, si tratta di una uguaglianza sempre verificata, cioè di una identità.

Per equazione si intende una uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenenti una o più lettere:



Le lettere che appaiono in una equazione si dicono incognite, la quando invece, viene specificato che esse rappresentano numeri costanti, tali lettere vengono chiamate parametri.
Le equazioni contenenti una sola in incognita, rappresentano la gamma di esercizi più frequenti nei problemi matematici. Quando è presente una sola incognita, essa, viene normalmente rappresentata con la lettera x , ma possono essere usate anche altre lettere come la y o la z. Mentre , invece, quando abbiamo delle lettere rappresentative delle costanti numeriche, si usano solitamente le lettere a, b o c.

Le soluzioni di una equazione sono quei numeri che sostituiti all'incognita trasformano l'equazione in una uguaglianza.
Ad esempio nella  x-2=7 la soluzione è x=9  infatti sostituendo tale valore: 9-2=7.
Risolvere una equazione vuol dire trovare l'insieme delle soluzioni: stiamo pensando ad un insieme X contenuto in R (insieme dei numeri reali ).
Possono esserci i seguenti casi:
A] Non ci sono soluzioni; l'insieme delle soluzioni è vuoto , questo vuol dire che qualsiasi numero sostituito all'incognita produce un assurdo (uguaglianza falsa come si è visto prima) in tal caso l'equazione si dice impossibile.
B] Si trova un numero finito di soluzioni, in tal caso l'equazione è determinata.
C] Si trovano infinite soluzioni, in tal caso l'equazione si dice indeterminata.
D] L'insieme delle soluzioni trovate coincide con l'insieme dei numeri reali:
In questo caso, qualsiasi numero sostituito all'incognita trasforma l'equazione in una uguaglianza vera, l'equazione è in tal caso una identità.

1] Consideriamo l'equazione:

Qualsiasi numero mettiamo al posto della x ci porta ad ottenere una uguaglianza falsa, cioè un assurdo, in tal caso non esiste una soluzione diciamo, che l'insieme delle soluzioni è vuoto.
L'equazione è dunque impossibile.

2] L'equazione:

Ammette soltanto le due soluzioni 8 e -8 :un numero finito di soluzioni, quindi si dice che questa equazione è determinata.

3] l'equazione:

Per x=3 abbiamo    verificata: 3 è soluzione.
Per x= - 3 abbiamo falso: - 3 non è soluzione.
Possiamo verificare che le soluzioni di tale equazione sono lo 0 e tutti i numeri positivi; come dire ma le soluzioni sono infinite, per cui l'equazione è indeterminata.

4] l'equazione:

È sempre verificata, infatti
In tal caso l'insieme X delle soluzioni coincide con l'insieme dei numeri reali e l'equazione risulta essere un'identità.

Equazioni di primo grado intere

La maggior parte delle difficoltà incontrate da una persona durante lo studio della matematica derivano da una scarsa efficienza nell'applicare quelle che possono essere considerate le due (uniche) regole fondamentale delle equazioni.

Primo principio di equivalenza
Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione la stessa quantità il significato dell'equazione precedente rimane invariato.

Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per la stessa quantità (diversa da zero) il significato dell'equazione precedente rimane invariato.

Il primo principio di equivalenza, si traduce, nella pratica a cambiare di segno ad un termine dell'equazione quando lo si porta da un membro all'altro (quando lo si porta da una parte all'altra del segno di uguaglianza). Ad esempio:

possiamo portare     da una parte all'altra del segno di uguaglianza, semplicemente cambiandolo di segno:

L'operazione effettuata è in pratica l'applicazione rapida del primo principio dove noi abbiamo sottratto ad entrambi i membri la stessa quantità

A questo punto, al primo membro viene eseguito il raccoglimento a fattor comune della x:

Ora dobbiamo applicare il secondo principio, moltiplicando entrambi i membri per 3.

Anche in questo caso il metodo più rapido per applicare il secondo principio consiste nel sapere che è possibile portare al numeratore del secondo membro l'eventuale denominatore del primo membro (e viceversa) oppure portare al numeratore del primo membro l'eventuale denominatore del secondo membro secondo lo schema incrociato rappresentato:

Questa tecnica rende rapida l'applicazione del secondo principio, ma va applicata nelle condizioni illustrate, nel senso che non devono esserci ulteriori addendi al I° o al II° membro, altrimenti bisogna prestare maggiore attenzione ed usare eventuali parentesi.

Come si può notare dagli esempi seguenti, un'equazione di I° grado può sempre essere ricondotta nella forma:

Se l'equazione è determinata e la soluzione vale:
Se risulta: che è sempre e comunque verificata
Ci sono infinite soluzioni: l'equazione risulta indeterminata.
Se    l'equazione è impossibile; infatti: (infinito).

Equazioni di primo grado frazionarie

Sono quelle equazioni in cui l'incognita compare al denominatore di un funzione

In tal caso bisogna escludere dall'insieme delle soluzioni quelle che eventualmente annullano il denominatore.
Ad esempio, dall'equazione in esame, bisognerebbe escludere dall'insieme delle soluzioni x=2 ed x=1, dato che annullerebbero i denominatori generando, così dei valori incomputabili.
Viene quindi, introdotta, la nozione di dominio di un'equazione, inteso come l'insieme dei numeri che sostituiti al posto dell'incognita trasformano l'equazione in una uguaglianza dotata di senso (vera o falsa).
Nel caso nostro si dirà che il dominio di esistenza è oppure:
o anche >
Se la/le soluzioni dell'equazione appartengono al dominio di esistenza esse sono accettabili ( si parla in questo caso di condizioni di accettabilità). Ad esempio l'equazione:

Ha come dominio l'insieme dei numeri reali purchè infatti, sia +2 che - 2 annullano almeno un denominatore dell'equazione. Notiamo come in questo caso sia possibile effettuare la seguente operazione:

L'artificio che si nota, consiste nel moltiplicare numeratore e denominatore dello stesso termine frazionario (in questo caso -1) questo ha prodotto l'inversione di segno della frazione a patto che vengano invertiti di segno i termini che appaiono al denominatore:


Per il resto l'equazione è stata risolta coi principi di equivalenza si nota il caratteristico movimento incrociato del II° principio nel caso del passaggio:

La soluzione x= - 8 è soddisfa le condizioni di accettabilità, in quanto

Se l'equazione è frazionaria è vivamente consigliata questa modalità operativa:
A] Si scompongono in fattori i denominatori
B] Si valuta il dominio di esistenza e le condizioni di accettabilità
C] Si fa il denominatore comune per entrambi i membri
D] Si eliminano i denominatori moltiplicando entrambi i membri per il denominatore comune
E] Si risolve l'equazione ottenuta
F] Dalle soluzioni ricavate si prendono in considerazione solo quelle che soddisfano le condizioni di accettabilità.




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