edutecnica

Ellisse                                   

Prendiamo in considerazione due punti che chiameremo F1 ed F2 collocati entrambi sull’asse x delle ascisse che abbiano la stessa distanza c dall’asse delle ordinate, quindi simmetrici rispetto all’asse y.
La distanza tra questi due punti risulta dunque essere 2c dato che le coordinate sono F1(c;0) ed F2(-c;0).
Adesso pensiamo ad un segmento di lunghezza 2a con a >c; poi disegniamo un punto P che abbia 2a come la somma delle distanze di P da F1 ed F2.

L'ellisse è il luogo dei punti di un piano per il quale è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 ed F2 chiamati fuochi.

Per un generico punto P appartenente all'ellisse, deve essere soddisfatta la condizione

Indicando con x ed y le coordinate del generico punto P, la lunghezza 2a può essere ricavata usando il teorema di Pitagora.
Per ricavare le due distanze PF1 e PF2

   poi

    eleviamo al quadrato entrambi i membri

elevando ancora al quadrato entrambi i membri

alla fine rimane

     

ora, sapendo che c < a si riconosce che la differenza a2-c2 è sempre positiva; quindi dopo aver posto

   

L'equazione diventa

      dividendo entrambi i membri per a2b2:

     (a > b)

quella appena scritta è l'equazione canonica dell'ellisse ( o forma normale ).

Sappiamo che c > 0 dunque         le coordinate dei due fuochi sono

Se ora poniamo a sistema l'equazione y=0 dell'asse x con la si ha

L'ellisse interseca l'asse x nei punti di coordinata

Allo stesso modo si troverebbe (ponendo x=0) che le intersezioni con l'asse y si anno nei punti di coordinate  

● I quattro punti A1 A2 B1 B2 si chiamano vertici dell'ellisse.
● Il segmento che va da A1 a A2 contenente i due fuochi, misura 2a e viene chiamato asse maggiore.
● Il segmento che va da B1 a B2 contenente i due fuochi, misura 2b e viene chiamato asse minore.
● I due numeri (positivi) a e b rappresentano quindi le misure dei semiassi.

Ellisse con i fuochi sull'asse y      

L'ellisse collocata al centro del piano cartesiano, può avere anche i fuochi sull'asse y  

In questo caso l'asse maggiore sarà sull'asse y e l'asse minore sull'asse x, detto P(x;y) un generico punto appartenente all'ellisse

Seguendo lo stesso ragionamento effettuato in precedenza si arriverebbe alle conclusioni

    (a < b)

    (c < b) distanza focale

   asse minore

   asse maggiore

poi      dunque

   fuoco 1 e 2

   vertici

a : b :

m : q :

xMin :      xMax :

yMin :      yMax :


Eccentricità                                   

L'eccentricità di un'ellisse è il rapporto tra la distanza focale e l'asse maggiore. Dunque, se i fuochi sono sull'asse x

    

se i fuochi sono sull'asse y

   

Siccome la distanza focale è sempre minore dell'asse maggiore risulterà sempre 0 < e < 1

Se e=0 ⟶ c=0 quindi dalla relazione

L'equazione canonica dell'ellisse diventa

Che rappresenta l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio a.
Da questo fatto si conclude che la circonferenza può essere considerata un caso particolare di ellisse con eccentricità nulla.

Invece, nel caso limite e=1 si si ha che la distanza focale è uguale all'asse maggiore cioè i fuochi coincidono con i vertici; si deduce che deve essere nullo l'asse minore ; l'ellisse si riduce all'asse maggiore, cioè ad un segmento.