Divisione di polinomi

Il problema della divisione di due polinomi si risolve nello stesso modo adottato nel caso dei numeri interi. Nel caso della divisione euclidea, sappiamo, che se n e d sono due numeri naturali rispettivamente numeratore e denominatore di una frazione (con d≠0), esistono due soli numeri q (quoziente) ed r (resto) che possono essere in relazione con i due precedenti tramite la relazione .

con r<b

nel caso sia n=20 e d=3 il quoziente sarà q=6 ed il resto r=2 infatti

con resto r=2 infatti

solo nel caso che sia r=0 si può parlare di quoziente esatto altrimenti se r≠0 si parla di quoziente incompleto.

Consideriamo due polinomi nella variabile x, ordinati secondo potenze decrescenti di x.
Per analogia chiameremo questi due polinomi N e D (ipotizzando che D non sia un polinomio nullo).
Se N e D sono due polinomi ordinati secondo potenze decrecenti della lettera x, ed il grado di N rispetto ad x è maggiore o uguale al grado di D rispetto ad x, allora è possibile determinare un polinomio Q ed un polinomio R di grado inferiore a D tale che risulti

`N=D*Q+R`

Anche in questo caso si chiamerà Q il quoziente ed R il resto della divisione tra i due polinomi.
La regola pratica per dividere due polinomi con i requisiti specificati è qui di seguito illustrata con un esempio. Eseguire la divisione

1.) Si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti della x disponendoli secondo lo schema qui riportato

2.) Si divide il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio divisore, ottenendo il primo termine del quoziente .

infatti è `(4x^3)/(2x)=2x^2`

3.) Si moltiplica il primo termine del quoziente per il polinomio divisore e si sottrae dal dividendo il polinomio ottenuto, ottenendo il primo resto parziale.

Si moltiplica 2x² per il divisore (2x-3) e si aggiunge col segno cambiato, il prodotto ottenuto,cioè 4x³-6x², al dividendo, ottenendo il primo resto parziale .

4.) Si divide il termine di grado più alto del primo resto parziale per il primo termine del polinomio divisore, ottenendo il secondo termine del quoziente.

Si divide, quindi, -2x² per 2x ottenendo -x , che è il secondo termine del quoziente.

5.) Si moltiplica questo secondo termine del quoziente per il polinomio divisore e si continua l'operazione, come si è fatto per il primo termine del quoziente, finchè si ottiene un resto parziale nullo o di grado minore di quello del divisore.

Si moltiplica -x per il divisore (2x-3) e si aggiunge, col segno cambiato, il prodotto ottenuto, cioè -2x²+3x, al primo resto parziale, ottenendo il secondo resto parziale.

Siccome il grado di questo resto è uguale a quello del divisore, si ripete il procedimento ottenendo il terzo termine del quoziente che è -3 ed il successivo resto -11 che essendo di grado zero, quindi di grado minore al grado del divisore è il resto della divisione.

Quindi risulta come polinomio quoziente Q=2x³-x-3 con resto R=-11.

Ora verifichiamo l'uguaglianza DQ+R=N

Se il dividendo non è un polinomio completo conviene scriverlo lasciando degli spazi vuoti in corrispondenza ai termini mancanti, come mostrato nel seguente esempio
(3x⁴-14x²-8):(x²-2x+1)

Una divisione tra polinomi può generare anche un quoziente ed un resto con coefficienti frazionari:
(5x³+7x²-4x+1):(3x+2)

Le divisioni che danno maggior soddisfazione sono quelle che restituiscono un resto nullo.
(10x⁴-x³-24x²+19x-4):(2x²-3x+1)

Essendo R=0 in questo caso si ha Q·D=N

Come tutte le procedure manuali, la divisione tra polinomi può essere automatizzata.

Particolarmente importante nella divisione tre polinomi, è l'eventualità che un dato polinomio sia divisibile per un binomio di primo grado, cioè nel caso in cui D=x-k.

Supponiamo di avere un polinomio N(x) di grado n e di dividerlo per un binomio di primo grado del tipo D(x)=x-k; in tal caso si trova sempre un quoziente Q(x) di grado n-1 ed un resto R che dovendo essere di grado minore a D deve essere o 0 o di grado zero (cioè un numero costante). Per quanto detto deve risultare
N(x)=Q(x)D(x)+R

Ad esempio N(x)=3x³-7x²-5x+1 con D(x)=x-3

calcoliamo il valore di N(x) per x=3 : N(3)=3·27-7·9-5·3+1=+4

e dovrà risultare 4=(3-3)Q(x)+R ma essendo 3-3=0 → R=4

da questa proprietà deriva il teorema del resto. Il teorema del resto, permette di calcolare direttamente, senza eseguire la divisione, il resto della divisione di un polinomio N(x) della variabile x per un binomio del tipo x-k con k costante numerica.

Teorema del resto : Il resto della divisione di un polinomio N(x) per un binomio di primo grado del tipo x-k è dato dal valore che assume il polinomio, quando al posto della lettera x si sostituisce il numero k, cioè l'opposto del termine noto del divisore.

Esempio: determina il resto della divisione (7x³-2x²+5x+1):(x-3)
in questo caso il termine noto è -k=-3 ed il suo opposto k=3 che sostituito nel polinomio dividendo fornisce
7·27-2·9+5·3+1=187=R
essendo R≠0 sappiamo preventivamente che il polinomio assegnato non fornisce un quoziente esatto se diviso per il binomio indicato.

• Il teorema del resto ci permette di calcolare direttamente (senza effettuare la divisione) il resto della divisione di un polinomio N(x) per un binomio x-k.
• Nel caso in cui il polinomio N(x) sia esattamente divisibile per x-k si ha R=0 ma essendo N(k)=R si ha anche N(x)=0 cioè il polinomio N(x) si deve annullare per x=k.

Teorema di Ruffini : un polinomio N(x) è esattamente divisibile per il binomio x-k solo quando il polinomio si annulla per x=k.

Per definizione, ogni valore della variabile x per la quale il polinomio N(x) si annulla, si chiama zero oppure radice del polinomio N(x).

Dal teorema di Ruffini segue che se un polinomio è divisibile per (x-k) allora il numero k è uno zero del polinomio.

Regola di Ruffini

Il quoziente ed il resto della divisione di un polinomio per il binomio (x-k) si può trovare senza eseguire la divisione, con il procedimento visto all'inizio, ma con un metodo alternativo chiamato appunto, regola di Ruffini.

Supponiamo di dover effettuare la divisione (5x³-7x²-8x-1):(x-2) eseguendo la divisione in modo ordinario si ha

ma anche con il seguente schema possiamo ottenere i coefficienti del quoziente ed il resto.

1.) Si forma un riquadro nel quale i numeri scritti sulla stessa orizzontale sono i coefficienti del dividendo, si tracciano due tratti verticali, uno a sinistra del primo coefficiente, e l'altro tra il penultimo e l'ultimo coefficiente.

2.) Si scrive a sinistra del primo tratto verticale, il termine noto (-2) del divisore, cambiato di segno (2) e si trascrive sotto la riga orizzontale, il primo coefficiente (5) del dividendo: esso è anche il primo coefficiente del quoziente.

3) Si moltiplica 5 per 2 e si scrive il prodotto ottenuto 10, sotto il secondo coefficiente , -7 del dividendo, si esegue la somma -7+10=3 e si scrive il risultato 3 in colonna sotto la riga orizzontale: questo numero è il secondo coefficiente del quoziente.

4.) si ripete il procedimento, ottenendo prima il terzo coefficiente del quoziente, cioè -2 ed infine il resto -5.

Considerando che il quoziente è un polinomio di grado inferiore del dividendo dato si ha Q(x)=5x²+3x-2 con R=-5

Se il dividendo N(x) è un polinomio incompleto, bisogna mettere nella prima riga 0 al posto dei termini mancanti; ad esempio nella divisione
(x⁴-2x²+15x-10):(x+3)

ottenendo Q(x)=x³-3x²+7x-6 con R=8.

Il metodo di Ruffini è una procedura manuale che può essere, entro certi limiti, resa automatica.