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Equazioni e disequazioni con modulo (con valore assoluto)

Per un numero reale x la definizione di modulo :


Da questa definizione si deduce che:

In pratica: due numeri reali hanno lo stesso valore assoluto, se sono uguali o se sono opposti.

Valgono le regole:

     e          

Ad esempio



    impossibile . Dato che il modulo di un numero reale non mai negativo.



     impossibile . Dato che il modulo di un numero reale non mai negativo.



       avremo:





due numeri reali sono uguali in modulo, quando sono uguali o quando sono opposti.



     impossibile . Dato che il modulo di un numero reale non mai negativo.



    soddisfatta solo per x=3



        sempre verificata



    sempre verificata eccetto che per    quando x-3=0 , dato che la disequazione 0>0 falsa x=3 l'unico valore per il quale non verificata la disequazione assegnata.



   sempre verificata: il modulo di un numero reale sempre maggiore o uguale a 0.



   sempre verificata: il modulo di un numero reale sempre maggiore o uguale a 0 .



   impossibile . Dato che il modulo di un numero reale non mai negativo.



   sempre verificata tranne che per x=2; in tale circostanza, infatti, il I membro si annulla del resto la somma di due moduli sempre positiva, eccetto il caso in cui essi siano simultaneamente nulli.



     sempre verificata perch in questo caso i due moduli non possono essere simultaneamente nulli.



     si risolve nel seguente modo:


l'equazione verificata per     



   prima si valuta per quali valori di x gli argomenti dei due moduli sono positivi:

Si distinguono 3 casi:

Le soluzioni dell'equazione data, sono le soluzioni dei seguenti sistemi:

l'unica soluzione possibile     



Risulta frequente la risoluzione di disequazioni del tipo:

Se k fosse negativo o nullo saremmo gi in grado di risolverle, basandoci solo sul concetto di modulo. La prima delle disequazioni date equivale al sistema:

scriveremo:         in pratica avremo:

    riassumendo:

        con         

Attenzione in questo caso la soluzione è l'intersezione delle soluzioni delle due disequazioni.

Per la seconda delle disequazioni assegnate

dato che k positivo:         riassumendo:

     con      

Attenzione in questo caso la soluzione è l'unione delle soluzioni delle due disequazioni.

Ad esempio:

    equivale a dire          mettendo a sistema:

se ne ricava:        intersezione delle soluzioni delle due disequazioni.

Ad esempio:

    equivale a dire      mettendo a sistema:

la soluzione       unione delle soluzioni delle due disequazioni.

 

 

 

 

 

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