Disequazioni di secondo grado

Si tratta di una disequazione riconducibile ad una delle seguenti forme canoniche:

Se prendiamo ad es.     la soluzione può anche essere interpretata graficamente se consideriamo il sistema:

Si tratta di determinare i valori della x che soddisfano sia alla disequazione che all'equazione assegnata.
E' noto che la     è l'equazione di una parabola collocata sul piano cartesiano (con concavità verso l'alto se a>0 o verso il basso se a<0). La disequazione y>0 è la rappresentazione di tutti i punti che si trovano nel semipiano superiore del piano cartesiano. La soluzione del problema consiste nel trovare l'insieme delle x che se inserite nella    , forniscono una y positiva. Viene qui sotto fornito uno schema riassuntivo delle eventualità:


Esempio:

          equivale a         
si tratta di una parabola con la concavità verso l'alto con radici pari a x₁=1 ed x₂=3 .

Il grafico della parabola è maggiore di 0 (y>0) per tutti i valori di x>3 e per tutte le x<1. Allo stesso risultato si arriva tramite altre considerazioni; abbiamo infatti affermato che la disequazione data è scrivibile anche come:

Si può anche ragionare nel seguente modo: c'è una cosa A che moltiplica una cosa B.
Quando questo prodotto è positivo? Per le regole che ci hanno insegnato alle scuole elementari quando A & B sono simultaneamente positivi, oppure quando A & B sono simultaneamente negativi.
Non resta che chiederci quando la cosa A è positiva e quando la cosa B è positiva:

Diamo ora la seguente rappresentazione:

Da questa immagine si ricava come nel tratto   il prodotto fra A&B sia fra due termini negativi, quindi in tale intervallo  . Il loro prodotto è positivo e la disequazione è verificata.

Lo stesso si può dire per l'intervallo quindi la disequazione è verificata per: